Grundbegriffe der mathematischen Logik. Logische Werte, Operationen, Ausdrücke 10 Boolesche Werte Operationen Ausdrücke

Folie 9

Aufgabe 1

Formulieren Sie Aussagen in Alltagssprache für die folgenden logischen Ausdrücke: 1) (X = 12) und (Y = 12) und (Z = 12); 2) (X 0) oder (Y 0); 3) (X x Y 0); 4) (X x Y x Z 0).

Folie 10

Aufgabe 2

Bestimmen Sie den Wert des logischen Ausdrucks: nicht (X > Z) und nicht (X = Y), wenn: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X=5, Y=0, Z=-8; 4) X = 9, Y = -9, Z = 9.

Folie 11

Aufgabe 3

Bestimmen Sie die Werte der logischen Variablen a, b, c, d, wenn: 1) a und (Mars ist ein Planet) eine wahre Aussage ist; 2) b und (Mars ist ein Planet) ist eine falsche Aussage; 3) mit oder (die Sonne ist ein Satellit der Erde) - eine wahre Aussage; 4) d oder (die Sonne ist ein Satellit der Erde) ist eine falsche Aussage.

Elemente der mathematischen Logik sind Ihnen bereits im Informatik-Studium der Hauptschule begegnet, wo Sie studiert haben, wie man Abfragen an die Datenbank und bedingte Funktionen schreibt WENN in Tabellenkalkulationen, Grundlagen der Algorithmisierung und Programmierung. Lassen Sie uns die Grundkonzepte der Logik wiederholen, um Ihr Wissen in der Verwendung für die Programmierung weiter zu vertiefen.

Die Hauptbegriffe der Logik sind: Aussage, logischer Wert, logische Operationen, logische Ausdrücke und Formeln.

Aussage (Urteil)- Dies ist ein Aussagesatz, in dem etwas bejaht oder verneint wird. Jede Aussage kann als wahr oder falsch bezeichnet werden.

Beispielsweise ist die Aussage „Es regnet draußen“ je nach Wetterlage wahr oder falsch dieser Moment. Die Wahrheit der Aussage "Der Wert von A ist größer als B", geschrieben in Form der Ungleichung: A > B, hängt von den Werten der Variablen A und B ab.

Boolesche Werte- Konzepte, die durch die Wörter ausgedrückt werden: WAHR, FALSCH (wahr, falsch). Folglich, Die Wahrheit von Aussagen wird durch logische Größen ausgedrückt.

Boolesche Konstante: Richtig oder falsch.

Boolesche Variable: symbolisch bezeichneter logischer Wert. Wenn also bekannt ist, dass A, B, X, Y usw. variable logische Werte sind, können sie daher nur die Werte WAHR oder FALSCH annehmen.

Boolescher Ausdruck- eine einfache oder zusammengesetzte Anweisung. Aus einfachen Aussagen wird mit Hilfe logischer Operationen (Verbindungen) eine komplexe Aussage aufgebaut.

Boolesche Operationen

Konjunktion (logische Multiplikation). Im Russischen wird es durch die Vereinigung UND ausgedrückt, in der mathematischen Logik werden die Zeichen & oder ∧ verwendet. Konjunktion ist eine zweistellige Operation; wird geschrieben als: A & B. Der Wert eines solchen Ausdrucks ist FALSE, wenn der Wert von mindestens einem der Operanden falsch ist.

Disjunktion (logische Addition). Im Russischen entspricht dieses Bündel der Vereinigung OR. In der mathematischen Logik wird es mit dem Vorzeichen bezeichnet v. Disjunktion ist eine zweistellige Operation; wird geschrieben als: A v B. Der Wert eines solchen Ausdrucks ist TRUE, wenn der Wert von mindestens einem der Operanden wahr ist.

Negation. Auf Russisch entspricht dieses Bündel dem Partikel NOT (in einigen Aussagen wird der Ausdruck „es ist nicht wahr, dass ...“ verwendet). Negation ist eine unäre (einstellige) Operation; wird geschrieben als: ¬ A oder Ā.

Die Regeln für die Durchführung der betrachteten logischen Operationen spiegeln sich in der folgenden Tabelle wider, die als Wahrheitstabelle der logischen Operationen bezeichnet wird (hier bedeutet AND "wahr", L - "falsch"):

Boolesche Formel- eine Formel, die nur logische Größen und Zeichen logischer Operationen enthält. Das Ergebnis der Auswertung einer logischen Formel ist TRUE oder FALSE.

Die Reihenfolge der Operationen in logischen Formeln wird durch die Priorität der Operationen bestimmt. In absteigender Rangfolge sind logische Operationen wie folgt angeordnet: Negation, Konjunktion, Disjunktion . Außerdem wird die Reihenfolge, in der Operationen ausgeführt werden, durch Klammern beeinflusst, die in logischen Formeln verwendet werden können.

Zum Beispiel: (A & B) v (¬ A & B) v (¬ A & ¬ B).

Beispiel. Berechnen Sie den Wert einer logischen Formel:

¬ X & Y v X & Z,

wenn boolesche Variablen folgende Werte haben: X= FALSCH, Y= WAHR, Z= WAHR.

Entscheidung. Wir markieren die Reihenfolge der Operationen in der Formel mit Zahlen von oben:

Mit Hilfe der Wahrheitstabelle berechnen wir die Formel in Schritten:

1) FALSCH = WAHR; 2) WAHR & WAHR = WAHR; 3) FALSCH & WAHR = FALSCH; 4) WAHR gegen FALSCH = WAHR. Antwort: WAHR.

Boolesche Funktionen für einen Bereich numerischer Werte

Die Algebra der Zahlen überschneidet sich mit der Algebra der Logik in den Fällen, in denen überprüft werden muss, ob die Werte algebraischer Ausdrücke zu einer bestimmten Menge gehören. Beispielsweise wird die Zugehörigkeit des Wertes der numerischen Variablen X zur Menge der positiven Zahlen durch ausgedrückt Aussage: "X ist größer als Null." Symbolisch schreibt man das so: X > 0. In der Algebra nennt man einen solchen Ausdruck eine Ungleichung. In der Logik Beziehung.

Die Beziehung X > 0 kann wahr oder falsch sein. Wenn X positiv ist, dann ist es wahr, wenn es negativ ist, dann ist es falsch. Im Allgemeinen hat die Beziehung die folgende Struktur:

< выражение 1 > < знак отношения > < выражение 2 >

Hier sind die Ausdrücke 1 und 2 einige mathematische Ausdrücke, die numerische Werte annehmen. Im Einzelfall kann der Ausdruck eine Konstante oder eine Variable sein. Beziehungszeichen können wie folgt sein:

Eine Relation ist also eine einfache Aussage und daher ein logischer Wert. Es kann entweder konstant sein: 5 > 0 - immer TRUE, 3 * 6: 2 - immer FALSE; und variabel: a< b, х + 1 = с - d. Если в отношение входят переменные числовые величины, то и значение отношения будет логической переменной.

Ein Verhältnis kann als logische Funktion numerischer Argumente betrachtet werden. Zum Beispiel: F(x) = (x > 0) oder P(x, y) = = (x< у). Аргументы определены на бесконечном множестве действительных чисел, а значения функции - на множестве, состоящем из двух логических величин: ИСТИНА, ЛОЖЬ.

Boolesche Funktionen numerischer Argumente werden auch als Term bezeichnet Prädikat. In Algorithmen spielen Prädikate die Rolle von Bedingungen, durch die Verzweigungen und Schleifen aufgebaut werden. Prädikate können entweder einfache logische Funktionen sein, die keine logischen Operationen enthalten, oder komplexe Funktionen, die logische Operationen enthalten.

Beispiel 1 Schreiben Sie aus zwei reellen Argumenten X und Y ein Prädikat (logische Funktion), das den Wert TRUE annimmt, wenn der Punkt auf der Koordinatenebene mit den Koordinaten X und Y innerhalb des Einheitskreises liegt, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist (Abb. 3.12).

Aus geometrischen Überlegungen ist klar, dass für alle Punkte, die innerhalb des Einheitskreises liegen, der Wert der folgenden logischen Funktion wahr sein wird:

F (X, Y) \u003d (X 2 + Y 2< 1).

Für Koordinatenwerte von Punkten, die auf dem Kreis und außerhalb liegen, ist der Wert der Funktion F falsch.

Beispiel 2 Schreiben Sie ein Prädikat, das zu WAHR ausgewertet wird, wenn ein Punkt auf der Koordinatenebene mit den Koordinaten X und Y innerhalb eines Rings liegt, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, und mit den Radien R1 und R2.

Da die Werte von R1 und R2 Variablen sind, ist das erwünscht Boolesche Funktion hat vier Argumente: X, Y, R1, R2. Zwei Situationen sind möglich:

1) R1 2< X 2 + У 2 < R2 2 и R1 < R2: R1 - внутренний радиус, R2 - внешний радиус;

2) R2 2< X 2 + У 2 < R1 2 и R2 < R1: R2 - внутренний радиус, R1 - внешний радиус.

Wenn wir diese beiden Aussagen durch Disjunktion kombinieren und sie nach den Regeln der Algebra der Logik schreiben, erhalten wir die folgende logische Funktion:

F(X, Y, R1, R2) = (((X 2 + Y 2) > R1 2) & ((X 2 + Y 2)< R2 2) & R1 < R2) v (((X 2 + У 2) >R2 2) & ((X 2 + Y 2)< R1 2) & R2 < R1).

Beispiel 3 Schreiben Sie ein Prädikat, das den Wert WAHR annimmt, wenn ein Punkt auf der Koordinatenebene mit den Koordinaten X und Y innerhalb der durch dicke Linien begrenzten Figur in Abb. 3.13.

Die Figur wird durch drei Grenzen begrenzt, die durch die Gleichungen beschrieben werden:

Y \u003d -X - linker Rand, lineare Funktion;

Y \u003d 1 - Obergrenze, konstant;

Y \u003d X 2 - rechter Rand, Parabel.

Der betrachtete Bereich ist der Schnittpunkt dreier Halbebenen, die durch die Ungleichungen beschrieben werden:

An inneren Punkten sind alle diese drei Beziehungen gleichzeitig wahr. Daher hat das gesuchte Prädikat die Form:

F(X, Y) = (Y > -X) & (Y< 1) & (У >X2).

Boolesche Ausdrücke in Pascal

Es wurde bereits gesagt, dass Pascal einen logischen Datentyp hat.

Boolesche Konstanten: Stimmt(Stimmt), FALSCH(Lügnerisch).

Boolesche Variablen: mit Typ beschrieben Boolesch.

Beziehungsoperationen: Vergleichen der beiden Operanden und Bestimmen, ob die entsprechende Beziehung zwischen ihnen wahr oder falsch ist. Vergleichszeichen: = (gleich),<>(ungleich), > (größer als),< (меньше), >= (größer oder gleich),<= (меньше или равно).

Boolesche Operationen: nicht- Verweigerung, und- logische Multiplikation (Konjunktion), oder- logische Addition (Disjunktion), xoder- Exklusiv oder. Die Wahrheitstabelle für diese Operationen (T - Stimmt; F- FALSCH):

Boolescher Ausdruck kann aus logischen Konstanten und Variablen, Relationen, logischen Operationen bestehen. Der boolesche Ausdruck wird als wahr oder falsch ausgewertet.

Beispielsweise wird die logische Formel ¬ X & Y v X & Z in Pascal als folgender logischer Ausdruck geschrieben:

nicht X und Y oder X und Z,

wo X, Y, Z- Variablen eingeben Boolesch.

Logische Operationen sind in folgender absteigender Rangfolge (Priorität) angeordnet: 1) nicht, 2) und, 3) oder, xor. Relationale Operationen haben die niedrigste Priorität. Wenn also die Operanden einer logischen Operation Relationen sind, sollten sie in Klammern gesetzt werden. Beispielsweise entspricht die mathematische Ungleichung 1 ≤ X ≤ 50 dem folgenden logischen Ausdruck:

(1 <= Х) und(X<= 50)

Boolesche Funktion ungerade (x) nimmt den Wert an Stimmt if der Wert des Integer-Arguments X ist sonst seltsam FALSCH.

Für die korrekte Erfassung eines komplexen logischen Ausdrucks (Prädikats) ist es notwendig, die relativen Prioritäten von arithmetischen, logischen und relationalen Operationen zu berücksichtigen, da sie alle in einem logischen Ausdruck vorhanden sein können. In absteigender Prioritätsreihenfolge werden die Operationen in der folgenden Reihenfolge aufgelistet.

1. Arithmetische Operationen: - (minus unär) *, / +, - 2. Logische Operationen: nicht und oder, xor 3. Beziehungsoperationen: =,<>, >, <, >=, <=

Beachten Sie erneut, dass in dem booleschen Ausdruck, der dem Prädikat in Beispiel 3 entspricht:

(Y > -X) und(Y< 1) und(Y>X*X),

Vergleichsoperationen sind in Klammern eingeschlossen, weil sie jünger als logische Operationen sind und vorher ausgeführt werden müssen.

Fragen und Aufgaben

1. Welche Art von Wert erhält man, wenn man das Verhältnis (Ungleichheit) zwischen Zahlen berechnet?

2. Was ist ein Prädikat? Nenne Beispiele.

3. Schreiben Sie in der Sprache der Logikalgebra logische Funktionen, die WAHR sind, wenn die folgenden Aussagen wahr sind, und FALSCH andernfalls:

A) alle Zahlen X, Y, Z sind einander gleich; b) aus Zahlen X, Y, Z nur zwei sind gleich; c) jede der Zahlen X, Y, Z positiv; d) nur eine der Zahlen X, Y, Z positiv; e) die Bedeutung von Zahlen X, Y, Z aufsteigend sortiert.

4. Schreiben Sie alle Formeln, die Sie bei der Lösung des vorherigen Problems erhalten haben, als logische Ausdrücke in Pascal auf.

5. Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für die logische Formel:

¬X & Y gegen X & Z.

Erläuterung: In der Wahrheitstabelle müssen die Werte der Formel für alle Varianten der Werte logischer Variablen berechnet werden: X, Y, Z. Daher enthält die Tabelle 2 3 = 8 Zeilen und 4 Spalten: Werte X, Y, Z und Ergebnis. Der Tabelle können zusätzliche Spalten hinzugefügt werden, die die Ergebnisse von Zwischenoperationen enthalten.

6. Berechnen Sie die Werte der folgenden in Pascal geschriebenen logischen Ausdrücke:

Erläuterungen: ungerade (x)- logische Funktion zur Bestimmung der Parität des Arguments, ist gleich Stimmt, wenn x ungerade ist, und gleich ist FALSCH wenn x gerade ist; abschneiden (x) ist eine ganzzahlige Funktion eines reellen Arguments, die die nächste ganze Zahl zurückgibt, die x in Modulo nicht überschreitet.

Verzweigungsprogrammierung

1. Logische Größen, Operationen, Ausdrücke. Logische Ausdrücke als Bedingungen in Verzweigungs- und zyklischen Algorithmen.

Um die Funktionsweise von Verzweigungs- und zyklischen Algorithmen zu verstehen, betrachten Sie das Konzept eines logischen Ausdrucks.

In einigen Fällen sollte die Wahl einer Aktionsoption in einem Programm davon abhängen, wie die Werte einiger Variablen miteinander korrelieren.

Beispielsweise erfolgt die Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung je nach Diskriminante unterschiedlich (Erinnerung an die Mathematik).

Als Ergebnis des Vergleichs der Werte zweier Ausdrücke sind zwei mögliche Antworten möglich: Vergleich Stimmt oder FALSCH?

Zum Beispiel:

2+3 > 3+1 - ja (wahr)

0 < -5 - нет (ложно)

Wir werden Ausdrücke dieser Art nennen logische Ausdrücke.

Ein logischer Ausdruck wird wie ein mathematischer Ausdruck ausgeführt (berechnet), aber das Ergebnis ist keine Zahl, sondern ein logischer Wert: wahr (wahr) oder falsch (falsch). boolescher Wert ist immer die Antwort auf die Frage, ob die gegebene Aussage wahr ist.

Wir kennen sechs Vergleichsoperationen:

Mit Hilfe dieser Operationen werden wir logische Ausdrücke bilden. Außerdem enthalten Ausdrücke nicht unbedingt nur Konstanten, sondern auch Variablen.

Wie Verhältnisoperationen für Zahlenwerte durchgeführt werden, ist aus der Mathematik klar. Wie werden symbolische Werte verglichen? Die Gleichheitsbeziehung gilt für zwei Zeichenwerte, wenn ihre Länge gleich ist und alle entsprechenden Zeichen übereinstimmen. Beachten Sie, dass ein Leerzeichen auch ein Zeichen ist.

Symbolische Werte können auch in den Relationen > verglichen werden,<, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.

"Katze" = "Katze"

"Der Kater"< «лис»

"Katze" > "Haus"

Ein Ausdruck, der aus einem logischen Wert oder einer Relation besteht, wird einfacher logischer Ausdruck genannt.

Oft gibt es Aufgaben, bei denen nicht einzelne Bedingungen verwendet werden, sondern eine Reihe von miteinander verbundenen Bedingungen (Relationen). In einem Geschäft müssen Sie beispielsweise Schuhe mit einer Größe von r = 45, einer Farbe von Farbe = Weiß und einem Preis von nicht mehr als 400 Rubel auswählen.

Ein anderes Beispiel: Ein Student hat herausgefunden, dass er einen Schokoriegel kaufen kann, wenn er 3 Rubel kostet. oder 3 reiben. 50kop.

Im ersten Beispiel haben wir es mit drei Relationen zu tun, die durch die Vereinigung „und“ und das Teilchen „nicht“ verbunden sind, im zweiten – mit zwei Relationen, die durch die Vereinigung „oder“ verbunden sind. Wir nennen solche Bedingungen Bestandteil, und um sie im Algorithmus zu benennen, stimmen wir zu, die Vereinigungen " und", "oder", "nicht", die wir als Zeichen logischer Operationen betrachten, mit denen Sie zusammengesetzte Bedingungen aus einfachen Bedingungen erstellen können, genauso wie Sie algebraische Ausdrücke aus einfachen Variablen und Konstanten mit den Zeichen +, - usw. erstellen können.

Die Bedingungen unserer Beispiele im Algorithmus könnten also so aussehen:

erste:(r=45) und(Farbe=weiß) und (nicht(Preis>400))

zweite:(Preis=3) oder(Preis=3,5)

Ein Ausdruck, der logische Operationen enthält, wird als komplexer logischer Ausdruck bezeichnet.

Das Kombinieren von zwei (oder mehr) Anweisungen zu einer mit der Vereinigung „und“ wird als Operation bezeichnet logische Multiplikation oder Verbindung .

Das Ergebnis der logischen Multiplikation (Konjunktion) ist wahr, wenn alle logischen Ausdrücke wahr sind.

Das Kombinieren von zwei (oder mehr) Anweisungen mit Hilfe der Vereinigung „oder“ wird als Operation bezeichnet logische Ergänzung oder Disjunktion .

Als Ergebnis der logischen Addition (Disjunktion) wird wahr erhalten, wenn mindestens ein logischer Ausdruck wahr ist.

Das Anhängen des Teilchens „nicht“ an die Aussage wird als Operation bezeichnet logische Verneinung oder Umkehrung .

Negation kehrt den Wert eines booleschen Werts um: nicht wahr = falsch; nicht falsch = wahr.

Wenn es in einem komplexen logischen Ausdruck mehrere logische Operationen gibt, stellt sich die Frage, in welcher Reihenfolge der Computer sie ausführt. In absteigender Rangfolge sind logische Operationen in der folgenden Reihenfolge angeordnet:

Verneinung ( nicht);

Verbindung ( und);

Disjunktion ( oder).

Sie können Klammern in logischen Ausdrücken verwenden. Wie in mathematischen Formeln beeinflussen Klammern die Reihenfolge der Operationen. Wenn keine Klammern vorhanden sind, werden die Operationen in der Reihenfolge ihrer Priorität ausgeführt.

Beispiel. Seien a, b, c logische Werte, die die folgenden Werte haben: a = wahr, b = falsch, c = wahr. Es ist notwendig, die Ergebnisse der Auswertung der folgenden logischen Ausdrücke zu bestimmen:

a und b

a oder b

nicht a oder b

a und b oder c

a oder b und c

nicht a oder b und c

(a oder b) und(Mit oder b)

nicht(a oder b) und(Mit oder b)

nicht(a und b und c)

Als Ergebnis erhalten wir:

Beispiel. Schreiben Sie einen Algorithmus zur Berechnung:

Der Computer prüft zuerst die Bedingung (4*a - c >= 0) und (a<>0) und wenn es sich als wahr herausstellt, dann berechne x, sonst wird die Meldung „keine Lösung“ angezeigt.

Beispiel. Schreiben Sie einen Algorithmus zur Berechnung der Summe aller Zahlen von 1 bis n.

Solange die Bedingung x

Unterrichtsplan zum Thema: "Logische Werte, Operationen, Ausdrücke" Klasse 10

Das Ziel des Unterrichts: Konzepte für Schüler bilden: eine logische Aussage, logische Größen, logische Operationen.

Aufgaben:

Lehrreich: Begriffe bilden: logische Aussage, logische Werte, logische Operationen.

Entwicklung: Bedingungen für die Entwicklung des kognitiven Interesses der Schüler schaffen, die Entwicklung von Gedächtnis, Aufmerksamkeit und logischem Denken fördern;

Lehrreich: zur Bildung der Fähigkeit beitragen, auf die Meinungen anderer zu hören, im Team zu arbeiten.

Unterrichtsart:

Lektion des Studierens und primäre Festigung des neuen Wissens

Unterrichtsplan.

II. Aktualisieren - 3 Minuten.

IV. Festigung des erworbenen Wissens - 17 min.

V. Zusammenfassung der Lektion - 2 min.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment - 1 min.

II. Aktualisieren - 3 Minuten.

Logik(von griechisch "logos", was "Wort" und "Bedeutung" bedeutet) - die Wissenschaft von den Gesetzen, Formen und Wirkungsweisen des richtigen Denkens.

Ihre Hauptaufgabe ist es, die richtigen Argumentationswege zu finden und zu systematisieren.

Jetzt brauchen wir einige Definitionen.

ALGEBRA DER LOGIK - Zweig der mathematischen Logik, der studiert die Struktur komplexer logischer Aussagen und Möglichkeiten, ihren Wahrheitsgehalt festzustellen mit algebraischen Methoden.

OBJEKTE Algebra der Logik lernen: AUSSAGEN

Ein logischer Satz ist ein Aussagesatz, in dem etwas bejaht oder verneint wird und in Bezug auf den eindeutig gesagt werden kann, ob es wahr oder falsch ist.

Nicht jede Aussage kann eine Aussage sein. Zum Beispiel die folgende Aussage: "Malachit ist der schönste Stein aller bekannten Edelsteine" Kann keine Aussage sein, da es Geschmackssache ist.

III. Neues Material lernen - 17 min.

Übung 1.

Welche der Sätze sind Aussagen? Bestimmen Sie ihre Wahrheit?

1. Paris ist die Hauptstadt von England. (LÜGNERISCH)

2. Hören Sie die Nachricht ab.

3. Wer fehlt?

4. Die Zahl 11 ist eine Primzahl. (STIMMT)

5. Benennen Sie das Eingabegerät.

6. 4 + 5=10. (LÜGNERISCH)

7. Sie können nicht einmal einen Fisch ohne Schwierigkeiten aus einem Teich ziehen.

8. Einige Bären leben im Norden. (STIMMT)

9. Fügen Sie die Zahlen 2 und 5 hinzu.

Es gibt wahr oder falsch Aussagen, die nicht verifiziert werden können. Zum Beispiel: "Es gibt derzeit einen und nur einen Baum auf dem Planeten Erde, der genau 10.000 Blätter hat." Theoretisch ist es möglich, dies zu überprüfen, aber nur theoretisch, da für eine solche Überprüfung zu viele Inspektoren benötigt werden, viel mehr als Menschen auf dem Planeten leben.

Daher untersucht die mathematische Logik nur Sätze und nur, wie man ihre Wahrheit oder Falschheit bestimmt.

Die mathematische Logik untersucht nicht die Bedeutung von Sätzen, was bedeutet, dass die Formulierung des Satzes keine Rolle spielt und es genügt, eine einfache Notation für den Satz einzuführen.

boolesche Variable ist eine einfache Aussage, die nur einen Gedanken enthält. Sie symbolische Bezeichnung - lateinischer Buchstabe.

Der Wert einer booleschen Variablen kann nur die Konstanten TRUE und FALSE (1 und 0) sein.

Komplexe Aussagen. Boolesche Operationen

Vorher haben wir nur über einfache Aussagen gesprochen, Aussagen können auch komplex sein und aus mehreren einfachen bestehen. verbunden durch eine logische Verknüpfung UND, ODER, NICHT

Zum Beispiel zusammengesetzte Anweisung:

„Die Zahl 6 ist durch 2 teilbar und die Zahl 6 ist durch 3 teilbar“

„Im Sommer gehe ich aufs Land oder auf eine Touristenreise“

"Die Zahl 4 ist nicht durch 3 teilbar"

(A und B über den ersten Satz kleben)

(A oder B über den zweiten Satz kleben)

(nicht A über den dritten Satz kleben)

Im ersten Beispiel wird eine komplexe Anweisung aus zwei einfachen Anweisungen mithilfe einer logischen Operation aufgebaut - der Konjunktion A^B,

im zweiten die Disjunktion AVB

in der dritten - Verleugnung

Konjunktion (logische Multiplikation).

Ausgedrückt von der Gewerkschaft I.

Gekennzeichnet durch ein Zeichen (^ oder &).

A^B geschrieben

Der Wert eines solchen Ausdrucks ist FALSE, wenn mindestens einer der Operanden falsch ist.

Disjunktion (logische Ergänzung).

Ausgedrückt als ODER-Verknüpfung.

Gekennzeichnet durch das Zeichen (V).

Geschrieben A V B

Der Wert eines solchen Ausdrucks ist TRUE, wenn mindestens einer der Operanden wahr ist.

Umkehrung (Negation)

Es wird durch das NOT-Teilchen ausgedrückt.

Gekennzeichnet durch ein Zeichen (-).

Geschrieben-A

Der Wert eines solchen Ausdrucks ist FALSE, wenn der Wert von Operand A wahr war und umgekehrt.

Beschreibung der Präsentation LOGISCHE WERTE, OPERATIONEN, AUSDRÜCKE. (Klasse 10) durch Folien

Zu den Grundkonzepten der Logik gehören: Anweisung Boolescher Wert Logische Operationen Logische Ausdrücke Formeln

Eine Aussage (Urteil) ist ein Aussagesatz, in dem etwas bejaht oder verneint wird. Jede Aussage kann als wahr oder falsch bezeichnet werden. Zum Beispiel: „Es regnet draußen“ ist je nach Wetterlage wahr oder falsch. Die Wahrheit der Aussage "Der Wert ist größer als", geschrieben in Form von Ungleichheit: > , hängt von den Werten der Variablen und ab.

Welche der Sätze sind Aussagen? Bestimmen Sie ihre Wahrheit. Wie lang ist dieses Band? Hören Sie sich die Nachricht an. Mach Morgengymnastik! Benennen Sie das Eingabegerät. Wer ist abwesend? Paris ist die Hauptstadt von England. Die Zahl 11 ist eine Primzahl. 4 + 5 = 10. Sie können nicht einmal einen Fisch ohne Schwierigkeiten aus einem Teich ziehen. Füge die Zahlen 2 und 5 hinzu. Einige Bären leben im Norden. Alle Bären sind braun. Wie weit ist Moskau von Leningrad entfernt?

Logische Werte sind Konzepte, die durch die Wörter ausgedrückt werden: WAHR, FALSCH (wahr, falsch). Daher wird die Wahrheit des Satzes in Form von logischen Größen ausgedrückt. Boolesche Variable: Ein symbolisch bezeichneter boolescher Wert. Beispiel: Wenn bekannt ist, dass A, B, X, Y usw. variable logische Werte sind, können sie nur die Werte TRUE oder FALSE annehmen. Ein logischer Ausdruck ist eine einfache oder zusammengesetzte Aussage. Eine komplexe Anweisung baut auf einfachen auf, indem logische Operationen (Verbindungen) verwendet werden.

Logische Operationen Konjunktion (logische Multiplikation) Eine zweistellige Operation, geschrieben als A & B. Der Wert eines solchen Ausdrucks ist FALSCH, wenn der Wert mindestens eines Operanden falsch ist. Disjunktion (logische Addition) Eine zweistellige Operation, geschrieben als A V B. Der Wert eines solchen Ausdrucks ist TRUE, wenn der Wert mindestens eines Operanden wahr ist. Die Negation ist eine unäre (einstellige) Operation. Geschrieben als ¬ A oder Ā.

Eine logische Formel ist eine Formel, die nur logische Werte und Zeichen logischer Operationen enthält. Das Ergebnis der Berechnung einer logischen Formel ist WAHR oder FALSCH Die Reihenfolge der Operationen in logischen Formeln wird durch die Priorität der Operationen bestimmt. In absteigender Rangfolge werden logische Operationen wie folgt angeordnet: Negation, Konjunktion, Disjunktion. Außerdem wird die Reihenfolge, in der Operationen ausgeführt werden, durch Klammern beeinflusst, die in logischen Formeln verwendet werden können. Zum Beispiel: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&B)

Beispiel 1: Berechnen Sie den Wert einer logischen Formel ¬ X & Y v X & Z Wenn die logischen Variablen folgende Werte haben: X=FALSE, Y=TRUE, Z=TRUE. Lösung: Wir markieren die Reihenfolge der Ausführung der Operationen in der Formel mit Zahlen von oben: Berechnen Sie die Formel mit Hilfe der Wahrheitstabelle in Schritten: 1. ¬ FALSE = TRUE; 2. WAHR & WAHR = WAHR; 3. FALSCH & WAHR = FALSCH; 4. WAHR v FALSCH = WAHR. ¬ X & Y gegen X & Z

BEISPIEL 2 Bestimmen Sie den Wert des logischen Ausdrucks: nicht (X > Z) und nicht (X = Y), wenn: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X=5, Y=0, Z=-8; 4) X=9, Y=-9, Z=9.

Logische Funktionen auf dem Gebiet der Zahlenwerte Die Algebra der Zahlen überschneidet sich mit der Algebra der Logik in den Fällen, in denen überprüft werden muss, ob die Werte algebraischer Ausdrücke zu einer bestimmten Menge gehören. Beispielsweise wird die Zugehörigkeit des Wertes einer numerischen Variablen X zu einer Menge positiver Zahlen ausgedrückt durch die Aussage: „X ist größer als Null“. Symbolisch schreibt man das so: X > 0. In der Algebra nennt man einen solchen Ausdruck eine Ungleichung, in der Logik eine Relation. Die Beziehung X>0 kann wahr oder falsch sein. Wenn X positiv ist, dann ist es wahr, wenn es negativ ist, dann ist es falsch. Allgemein hat die Relation folgenden Aufbau: Vorzeichen von Relationen: = ; ; >; = ;<=.

Eine Relation ist eine einfache Aussage und daher ein logischer Wert. Es kann entweder konstant sein: 5>0 - immer WAHR, 3≠ 6: 2 - immer FALSCH; und variabel: a 0) oder P(x, y)=(x