Speisekarte
HeimBüro

Lineare Funktion. Lineare Funktion und ihr Graph Lineare Funktion und ihr Graph y 3

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form y=kx+b, wobei x die unabhängige Variable ist, k und b beliebige Zahlen sind.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

1. Zum Bauen Graph einer Funktion, Wir benötigen die Koordinaten zweier Punkte, die zum Graphen der Funktion gehören. Um sie zu finden, müssen Sie zwei x-Werte nehmen, sie in die Funktionsgleichung einsetzen und daraus die entsprechenden y-Werte berechnen.

Um beispielsweise die Funktion y= x+2 darzustellen, ist es praktisch, x=0 und x=3 zu nehmen, dann sind die Ordinaten dieser Punkte gleich y=2 und y=3. Wir erhalten die Punkte A(0;2) und B(3;3). Verbinden wir sie und erhalten einen Graphen der Funktion y= x+2:

2. In der Formel y=kx+b wird die Zahl k als Proportionalitätskoeffizient bezeichnet:
wenn k>0, dann nimmt die Funktion y=kx+b zu
wenn k
Koeffizient b zeigt die Verschiebung des Funktionsgraphen entlang der OY-Achse:
Wenn b>0, dann wird der Graph der Funktion y=kx+b aus dem Graphen der Funktion y=kx erhalten, indem b Einheiten entlang der OY-Achse nach oben verschoben werden
wenn b
Die folgende Abbildung zeigt Diagramme der Funktionen y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Beachten Sie, dass in allen diesen Funktionen der Koeffizient k größer als Null und die Funktionen sind zunehmend. Darüber hinaus ist der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der OX-Achse umso größer, je größer der Wert von k ist.

In allen Funktionen ist b=3 – und wir sehen, dass alle Graphen die OY-Achse im Punkt (0;3) schneiden.

Betrachten Sie nun die Graphen der Funktionen y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Diesmal gilt in allen Funktionen der Koeffizient k kleiner als Null und Funktionen nehmen ab. Koeffizient b=3, und die Diagramme schneiden wie im vorherigen Fall die OY-Achse im Punkt (0;3)

Schauen wir uns die Graphen der Funktionen y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Nun sind in allen Funktionsgleichungen die Koeffizienten k gleich 2. Und wir haben drei parallele Geraden.

Aber die Koeffizienten b sind unterschiedlich und diese Diagramme schneiden die OY-Achse an verschiedenen Punkten:
Der Graph der Funktion y=2x+3 (b=3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;3)
Der Graph der Funktion y=2x (b=0) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;0) – dem Ursprung.
Der Graph der Funktion y=2x-3 (b=-3) schneidet die OY-Achse im Punkt (0;-3)

Wenn wir also die Vorzeichen der Koeffizienten k und b kennen, können wir uns sofort vorstellen, wie der Graph der Funktion y=kx+b aussieht.
Wenn k 0

Wenn k>0 und b>0, dann sieht der Graph der Funktion y=kx+b so aus:

Wenn k>0 und b, dann sieht der Graph der Funktion y=kx+b so aus:

Wenn k, dann sieht der Graph der Funktion y=kx+b so aus:

Wenn k=0, dann verwandelt sich die Funktion y=kx+b in die Funktion y=b und ihr Graph sieht so aus:

Die Ordinaten aller Punkte im Diagramm der Funktion y=b sind gleich b If b=0, dann verläuft der Graph der Funktion y=kx (direkte Proportionalität) durch den Ursprung:

3. Beachten wir separat den Graphen der Gleichung x=a. Der Graph dieser Gleichung ist eine Gerade parallel zur OY-Achse, deren Abszisse alle Punkte x=a haben.

Der Graph der Gleichung x=3 sieht beispielsweise so aus:
Aufmerksamkeit! Die Gleichung x=a ist keine Funktion, daher entspricht ein Wert des Arguments verschiedenen Werten der Funktion, was nicht der Definition einer Funktion entspricht.


4. Bedingung für die Parallelität zweier Geraden:

Der Graph der Funktion y=k 1 x+b 1 ist parallel zum Graphen der Funktion y=k 2 x+b 2, wenn k 1 =k 2

5. Die Bedingung dafür, dass zwei Geraden senkrecht zueinander stehen:

Der Graph der Funktion y=k 1 x+b 1 steht senkrecht zum Graphen der Funktion y=k 2 x+b 2, wenn k 1 *k 2 =-1 oder k 1 =-1/k 2

6. Schnittpunkte des Graphen der Funktion y=kx+b mit den Koordinatenachsen.

Mit OY-Achse. Die Abszisse jedes Punktes, der zur OY-Achse gehört, ist gleich Null. Um den Schnittpunkt mit der OY-Achse zu finden, müssen Sie daher in der Funktionsgleichung Null anstelle von x einsetzen. Wir erhalten y=b. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OY-Achse hat die Koordinaten (0; b).

Mit OX-Achse: Die Ordinate eines beliebigen Punktes, der zur OX-Achse gehört, ist Null. Um den Schnittpunkt mit der OX-Achse zu finden, müssen Sie daher in der Funktionsgleichung Null anstelle von y einsetzen. Wir erhalten 0=kx+b. Daher ist x=-b/k. Das heißt, der Schnittpunkt mit der OX-Achse hat die Koordinaten (-b/k;0):

Definition einer linearen Funktion

Lassen Sie uns die Definition einer linearen Funktion einführen

Definition

Eine Funktion der Form $y=kx+b$, wobei $k$ ungleich Null ist, wird als lineare Funktion bezeichnet.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $k$ wird Steigung der Geraden genannt.

Wenn $b=0$ ist, heißt die lineare Funktion eine Funktion der direkten Proportionalität $y=kx$.

Betrachten Sie Abbildung 1.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Steigung einer Geraden

Betrachten Sie das Dreieck ABC. Wir sehen, dass $ВС=kx_0+b$. Finden wir den Schnittpunkt der Geraden $y=kx+b$ mit der Achse $Ox$:

\ \

Also $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Lassen Sie uns das Verhältnis dieser Seiten ermitteln:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Andererseits ist $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Somit können wir folgende Schlussfolgerung ziehen:

Abschluss

Geometrische Bedeutung des Koeffizienten $k$. Der Winkelkoeffizient der Geraden $k$ ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Geraden zur $Ox$-Achse.

Untersuchung der linearen Funktion $f\left(x\right)=kx+b$ und ihres Graphen

Betrachten Sie zunächst die Funktion $f\left(x\right)=kx+b$, wobei $k > 0$.

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Somit, diese Funktion nimmt im gesamten Definitionsbereich zu. Es gibt keine Extrempunkte.
  2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
  3. Diagramm (Abb. 2).

Reis. 2. Graphen der Funktion $y=kx+b$, für $k > 0$.

Betrachten Sie nun die Funktion $f\left(x\right)=kx$, wobei $k

  1. Der Definitionsbereich sind alle Zahlen.
  2. Der Wertebereich umfasst alle Zahlen.
  3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
  4. Für $x=0,f\left(0\right)=b$. Wenn $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ und $\left(0,\ b\right)$

  1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
  2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Daher hat die Funktion keine Wendepunkte.
  3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
  4. Diagramm (Abb. 3).

Lineare Funktion eine Funktion der Form genannt y = kx + b, definiert auf der Menge aller reellen Zahlen. Hier k– Steigung (reelle Zahl), B – Dummy-Begriff (reelle Zahl), X– unabhängige Variable.

Im Sonderfall, wenn k = 0 erhalten wir eine konstante Funktion y = b, dessen Diagramm eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse ist, die durch den Punkt mit Koordinaten verläuft (0; b).

Wenn b = 0, dann erhalten wir die Funktion y = kx, was ist direkte Proportionalität.

B – Segmentlänge, die durch eine gerade Linie entlang der Oy-Achse abgeschnitten wird, vom Ursprung aus gezählt.

Geometrische Bedeutung des Koeffizienten k – Neigungswinkel gerade in die positive Richtung der Ox-Achse, betrachtet gegen den Uhrzeigersinn.

Eigenschaften einer linearen Funktion:

1) Der Definitionsbereich einer linearen Funktion ist die gesamte reelle Achse;

2) Wenn k ≠ 0, dann ist der Wertebereich der linearen Funktion die gesamte reelle Achse. Wenn k = 0, dann besteht der Wertebereich der linearen Funktion aus der Zahl B;

3) Geradeheit und Ungeradeheit einer linearen Funktion hängen von den Werten der Koeffizienten ab k Und B.

A) b ≠ 0, k = 0, somit, y = b – gerade;

B) b = 0, k ≠ 0, somit y = kx – ungerade;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, somit y = kx + b – Funktion allgemeiner Form;

D) b = 0, k = 0, somit y = 0 – sowohl gerade als auch ungerade Funktionen.

4) Eine lineare Funktion besitzt nicht die Eigenschaft der Periodizität;

5) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

Ochse: y = kx + b = 0, x = -b/k, somit (-b/k; 0)– Schnittpunkt mit der Abszissenachse.

Oy: y = 0k + b = b, somit (0; b)– Schnittpunkt mit der Ordinatenachse.

Hinweis: Wenn b = 0 Und k = 0, dann die Funktion y = 0 geht für jeden Wert der Variablen auf Null X. Wenn b ≠ 0 Und k = 0, dann die Funktion y = b verschwindet für keinen Wert der Variablen X.

6) Die Intervalle der Vorzeichenkonstanz hängen vom Koeffizienten k ab.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positiv wann X aus (-b/k; +∞),

y = kx + b– negativ wann X aus (-∞; -b/k).

B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positiv wann X aus (-∞; -b/k),

y = kx + b– negativ wann X aus (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b positiv über den gesamten Definitionsbereich,

k = 0, b< 0; y = kx + b negativ im gesamten Definitionsbereich.

7) Die Intervalle der Monotonie einer linearen Funktion hängen vom Koeffizienten ab k.

k > 0, somit y = kx + b nimmt im gesamten Definitionsbereich zu,

k< 0 , somit y = kx + b nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab.

8) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, zwei Punkte zu kennen. Die Lage der Geraden auf der Koordinatenebene hängt von den Werten der Koeffizienten ab k Und B. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle, die dies deutlich veranschaulicht.