کجا از سیستم اعشاری باینری استفاده می شود. اعداد اعشاری (اعشاری با کد دودویی) را بنویسید. چرا سیستم اعداد باینری اینقدر رایج است؟

مفهوم سیستم اعداد مختلط

در میان سیستم های اعداد، یک کلاس از به اصطلاح سیستم های اعداد مختلط.

تعریف 1

مختلطچنین نامیده می شود نشانه گذاری، که در آن اعداد داده شده در یک سیستم اعداد با پایه $P$ با استفاده از ارقام یک سیستم اعداد دیگر با پایه $Q$ نشان داده می شوند، جایی که $Q

در عین حال، در چنین سیستم اعدادی، به منظور جلوگیری از مغایرت، برای نمایش هر رقم از سیستم با پایه $P$، همان تعداد ارقام سیستم با پایه $Q$ تخصیص داده می شود، کافی است تا هر رقمی از سیستم را با پایه $P$ نشان می دهد.

نمونه ای از سیستم اعداد مختلط اعشاری باینری است.

منطق عملی برای استفاده از سیستم اعداد باینری-اعشاری

از آنجایی که شخص به طور گسترده ای از سیستم اعداد اعشاری در تمرین خود استفاده می کند، و معمول است که یک کامپیوتر با اعداد باینری و محاسبات باینری کار کند، یک گزینه سازش در عمل معرفی شد - نماد اعشاری با کد باینری، که معمولاً در مواردی استفاده می شود که نیاز به استفاده مکرر از رویه I / O اعشاری وجود دارد (مثلاً ساعت های الکترونیکی ، ماشین حساب ها و غیره). در چنین دستگاه هایی، به دلیل حجم کم حافظه برنامه، همیشه توصیه نمی شود از یک میکروکد جهانی برای تبدیل اعداد باینری به اعداد اعشاری و بالعکس استفاده کنید.

تبصره 1

در برخی از انواع کامپیوترها در واحدهای منطقی حسابی (ALU) واحدهای حسابی اعشاری خاصی وجود دارد که عملیات را بر روی اعداد نمایش داده شده در کد باینری-اعشاری انجام می دهند. این اجازه می دهد تا در برخی موارد به طور قابل توجهی عملکرد کامپیوتر را افزایش دهد.

به عنوان مثال، در سیستم خودکارپردازش داده ها از تعداد زیادی اعداد استفاده می کند و محاسبات کمی وجود دارد. در چنین حالتی، عملیات انتقال اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر به طور قابل توجهی از زمان انجام عملیات پردازش اطلاعات بیشتر خواهد شد. از سوی دیگر، ریزپردازنده ها از اعداد باینری خالص استفاده می کنند، اما دستورات تبدیل به نماد اعشاری با کد باینری را نیز درک می کنند. ALU میکروکنترلر AVR (و همچنین سایر ریزپردازنده ها) محاسبات اولیه را انجام می دهد و عملیات منطقیبیش از اعداد نشان داده شده در کد باینری، یعنی:

نتایج تبدیل ADC را می خواند.

در قالب اعداد صحیح یا اعداد ممیز شناور، پردازش نتایج اندازه گیری را انجام می دهد.

با این حال، نتیجه نهایی بر روی نشانگر در قالب اعشاری نمایش داده می شود که برای درک انسان مناسب است.

اصول ساخت یک سیستم اعداد باینری-اعشاری

هنگام ساخت یک سیستم اعداد باینری-اعشاری، اعداد باینری $4$ برای نمایش هر رقم اعشاری در آن تخصیص داده می شود، زیرا حداکثر رقم اعشاری $9$ به صورت $10012$ کدگذاری می شود.

به عنوان مثال: $925_(10) = 1001 0010 0101_(2-10)$.

تصویر 1.

در این نماد، چهار عدد متوالی از ارقام باینری به ترتیب نشان دهنده ارقام $9$، $2$ و $5$ از نماد اعشاری است.

برای نوشتن یک عدد در سیستم اعداد باینری-اعشاری، ابتدا باید در سیستم اعشاری نمایش داده شود و سپس هر رقم اعشاری موجود در عدد باید در سیستم باینری نمایش داده شود. در عین حال، نوشتن ارقام اعشاری مختلف در سیستم باینری به تعداد متفاوتی از ارقام باینری نیاز دارد. برای جلوگیری از استفاده از هر گونه کاراکتر جداکننده، نمایش باینری یک رقم اعشاری همیشه 4 رقم باینری را ثبت می کند. گروهی از این چهار رقم نامیده می شود تتراد.

اگرچه نماد BCD فقط از ارقام $0$ و $1$ استفاده می کند، اما با نمایش دودویی یک عدد معین متفاوت است زیرا معادل اعشاری یک عدد باینری چندین برابر بزرگتر از معادل اعشاری یک عدد BCD است.

مثلا:

$1001 0010 0101_{(2)} = 2341_{(10)}$,

$1001 0010 0101_{(2)} = 925_{(2-10)}$.

چنین نمادی اغلب به عنوان یک مرحله میانی هنگام تبدیل یک عدد از اعشار به باینری و بالعکس استفاده می شود. از آنجایی که عدد 10$ قدرت دقیق 2$ نیست، از همه تترادهای 16$ استفاده نمی شود (تترادهایی که اعداد از $A$ تا $F$ را نشان می دهند کنار گذاشته می شوند، زیرا این اعداد ممنوع تلقی می شوند)، در حالی که الگوریتم های عملیات حسابی در اعداد چند ارزشی در این مورد پیچیده تر از سیستم های اعداد اصلی هستند. و با این حال، BCD حتی در این سطح در بسیاری از ماشین‌حساب‌ها و برخی کامپیوترها استفاده می‌شود.

برای تصحیح نتایج عملیات حسابی روی اعداد ارائه شده در کد باینری-اعشاری، فناوری ریزپردازنده از دستورالعمل هایی استفاده می کند که نتایج عملیات را به سیستم اعداد باینری-اعشاری تبدیل می کند. در این مورد از قانون زیر استفاده می شود: وقتی در نتیجه یک عملیات (جمع یا تفریق) در یک تتراد، عددی بزرگتر از $9$ به دست می آید، عدد $6$ به این تتراد اضافه می شود.

به عنوان مثال: $75+18=93$.

$10001101 \ (8D)$

رقم ممنوع $D$ در دفترچه یادداشت جوان ظاهر شد. بیایید 6 دلار را به تتراد پایین اضافه کنیم و دریافت کنیم:

$10010011 \ (93)$

همانطور که می بینید، علیرغم اینکه جمع در سیستم اعداد باینری انجام شد، نتیجه عملیات به صورت اعشاری باینری بود.

تبصره 2

تعادل بیتی اغلب بر اساس انجام می شود سیستم اعداد باینری-اعشاری. استفاده از سیستم های اعداد دودویی و اعشاری باینری مناسب ترین است، زیرا در این مورد تعداد چرخه های متعادل کننده کمترین در بین سایر سیستم های اعداد است. توجه داشته باشید که استفاده از کد باینری این امکان را فراهم می کند که زمان پردازش ولتاژ جبران کننده را در مقایسه با کد باینری-اعشاری تقریباً 20$\%$ کاهش دهید.

مزایای استفاده از سیستم اعداد اعشاری باینری

تبدیل اعداد از اعشار به اعشاری باینری غیر محاسباتی است و با استفاده از ساده ترین آنها به راحتی قابل پیاده سازی است مدارهای الکترونیکی، زیرا فقط تعداد کمی (4) از ارقام باینری تبدیل می شوند. تبدیل معکوس به طور خودکار با کمک یک برنامه ترجمه ویژه در رایانه انجام می شود.

استفاده از سیستم اعداد دودویی-اعشاری همراه با یکی از سیستم های اعداد اصلی (دودویی) به شما امکان می دهد رایانه هایی با کارایی بالا توسعه دهید و ایجاد کنید، زیرا استفاده از یک واحد حساب اعشاری در ALU نیاز به ترجمه برنامه ریزی شده اعداد را از بین می برد. از یک سیستم عددی به سیستم دیگر در هنگام حل مسائل.

از آنجا که دو رقم BCD $1$ بایت هستند، که می توانند اعداد $0$ تا $99$ را به جای $0$ تا $255$ مانند یک عدد باینری $8$ نشان دهند، با استفاده از بایت $1$ برای نمایش هر دو رقم اعشاری، می توانید اعداد BCD را با هر تعداد اعشار دلخواه

در درس علوم کامپیوتر، صرف نظر از مدرسه یا دانشگاه، جایگاه ویژه ای به مفهومی مانند سیستم های اعداد داده می شود. به عنوان یک قاعده، چندین درس یا تمرین عملی برای آن اختصاص داده می شود. هدف اصلی نه تنها یادگیری مفاهیم اولیه مبحث، مطالعه انواع سیستم های اعداد، بلکه آشنایی با محاسبات باینری، اکتال و هگزا دسیمال است.

چه مفهومی داره؟

بیایید با تعریف مفهوم اصلی شروع کنیم. همانطور که در کتاب درسی "علوم کامپیوتر" اشاره شده است، سیستم اعداد رکوردی از اعداد است که از یک الفبای خاص یا مجموعه ای خاص از اعداد استفاده می کند.

بسته به اینکه آیا مقدار یک رقم از موقعیت آن در عدد تغییر می کند یا خیر، دو سیستم اعداد موقعیتی و غیر موقعیتی را متمایز می کنند.

در سیستم های موقعیتی، ارزش یک رقم با موقعیت آن در عدد تغییر می کند. بنابراین، اگر عدد 234 را بگیریم، عدد 4 در آن به معنای واحد است، اما اگر عدد 243 را در نظر بگیریم، در اینجا قبلاً به معنای ده ها خواهد بود، نه واحد.

در سیستم های غیر موقعیتی، مقدار یک رقم بدون توجه به موقعیت آن در عدد ثابت است. بارزترین مثال سیستم چوب است که هر واحد با یک خط تیره نشان داده می شود. فرقی نمی کند که عصا را به کجا اختصاص دهید، مقدار عدد فقط یک تغییر می کند.

سیستم های غیر موقعیتی

تا نه سیستم های موقعیتیمحاسبات شامل:

1. یک سیستم واحد که یکی از اولین ها محسوب می شود. به جای اعداد از چوب استفاده می کرد. هر چه تعداد آنها بیشتر بود، ارزش عدد بیشتر بود. نمونه ای از اعداد نوشته شده را می توانید در فیلم هایی که در آن ما داریم صحبت می کنیمدرباره افرادی که در دریا گم شده اند، زندانیانی که هر روز با کمک شکاف هایی روی سنگ یا درخت علامت گذاری می کنند.
2. رومی که در آن به جای اعداد از حروف لاتین استفاده شده است. با استفاده از آنها می توانید هر عددی را بنویسید. در همان زمان، مقدار آن با استفاده از مجموع و تفاضل ارقام تشکیل دهنده عدد تعیین شد. اگر عدد کوچکتری در سمت چپ رقم وجود داشت، رقم سمت چپ از عدد راست کم می شد و اگر رقم سمت راست کمتر یا مساوی رقم سمت چپ بود، مقادیر آنها جمع می شد. بالا به عنوان مثال، عدد 11 به صورت XI و 9 - IX نوشته شده است.
3. حروفی که در آنها اعداد با استفاده از الفبای یک زبان خاص مشخص می شدند. یکی از آنها سیستم اسلاوی است که در آن تعدادی از حروف نه تنها دارای ارزش آوایی، بلکه ارزش عددی نیز بودند.
4. که در آن فقط از دو نام برای ضبط استفاده شد - گوه و فلش.
5. در مصر نیز از علائم خاصی برای نشان دادن اعداد استفاده می شد. هنگام نوشتن یک عدد، هر کاراکتر را نمی توان بیش از 9 بار استفاده کرد.

سیستم های موقعیتی

توجه زیادی در علوم کامپیوتر به سیستم های اعداد موقعیتی می شود. این موارد شامل موارد زیر است:

• دودویی؛
• هشتی؛
• اعشاری؛
• هگزادسیمال;
• sexagesimal، هنگام شمارش زمان استفاده می شود (به عنوان مثال، در یک دقیقه - 60 ثانیه، در یک ساعت - 60 دقیقه).

هر کدام از آنها الفبای خاص خود را برای نوشتن، قوانین ترجمه و عملیات حسابی دارند.

سیستم اعشاری

این سیستم برای ما آشناترین است. برای نوشتن اعداد از اعداد 0 تا 9 استفاده می کند. به آنها عربی نیز می گویند. بسته به موقعیت رقم در عدد، می تواند ارقام مختلفی را نشان دهد - واحدها، ده ها، صدها، هزاران یا میلیون ها. ما در همه جا از آن استفاده می کنیم، قوانین اساسی را می دانیم که توسط آنها عملیات حسابی روی اعداد انجام می شود.

سیستم دودویی

یکی از سیستم های اعداد اصلی در علوم کامپیوتر دودویی است. سادگی آن به رایانه اجازه می دهد تا محاسبات دست و پا گیر را چندین برابر سریعتر از سیستم اعشاری انجام دهد.

برای نوشتن اعداد، فقط از دو رقم استفاده می شود - 0 و 1. در همان زمان، بسته به موقعیت 0 یا 1 در عدد، مقدار آن تغییر می کند.

در ابتدا با کمک کامپیوترها بود که تمام اطلاعات لازم را دریافت کردند. در همان زمان، یک به معنای وجود سیگنالی بود که با استفاده از ولتاژ ارسال می شد و صفر به معنای عدم وجود آن بود.

سیستم اکتال

معروف دیگر سیستم کامپیوتریحساب دیفرانسیل و انتگرال که در آن از اعداد 0 تا 7 استفاده می شود. اما اخیراً بسیار کمتر مورد استفاده قرار گرفته است، زیرا با سیستم اعداد هگزادسیمال جایگزین شده است.

اعشاری باینری

نمایش اعداد بزرگ در سیستم باینری برای یک فرد فرآیند نسبتاً پیچیده ای است. برای ساده سازی آن توسعه داده شد.معمولاً در ساعت های الکترونیکی، ماشین حساب ها استفاده می شود. در این سیستم، کل عدد از سیستم اعشاری به باینری تبدیل نمی شود، بلکه هر رقم به مجموعه صفر و یک مربوطه در سیستم باینری تبدیل می شود. همین امر در مورد تبدیل از باینری به اعشاری نیز صدق می کند. هر رقمی که به صورت مجموعه ای چهار رقمی از صفر و یک نمایش داده می شود، در سیستم اعداد اعشاری به یک رقم تبدیل می شود. در اصل، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

برای کار با اعداد، در این مورد، جدول سیستم های اعداد مفید است که مطابقت بین اعداد و کد باینری آنها را نشان می دهد.

سیستم هگزادسیمال

اخیراً سیستم اعداد هگزادسیمال به طور فزاینده ای در برنامه نویسی و علوم کامپیوتر محبوب شده است. این نه تنها از اعداد 0 تا 9، بلکه از تعدادی حروف لاتین - A، B، C، D، E، F استفاده می کند.

در عین حال، هر یک از حروف معنای خاص خود را دارد، بنابراین A=10، B=11، C=12 و غیره. هر عدد به صورت مجموعه ای از چهار کاراکتر نمایش داده می شود: 001F.

تبدیل اعداد: از اعشار به دودویی

ترجمه در سیستم های اعداد طبق قوانین خاصی انجام می شود. رایج ترین تبدیل از باینری به اعشاری و بالعکس است.

برای تبدیل یک عدد از اعشاری به باینری، لازم است که به طور مداوم آن را بر پایه سیستم اعداد، یعنی عدد دو، تقسیم کنیم. در این مورد، باقیمانده هر تقسیم باید ثابت شود. این کار تا زمانی ادامه می یابد که باقیمانده تقسیم کمتر یا مساوی یک باشد. بهتر است محاسبات را در یک ستون انجام دهید. سپس بقایای تقسیم حاصل به ترتیب معکوس روی رشته نوشته می شود.

به عنوان مثال، بیایید عدد 9 را به باینری تبدیل کنیم:

ما 9 را تقسیم می کنیم، زیرا عدد به طور مساوی قابل تقسیم نیست، سپس عدد 8 را می گیریم، باقیمانده 9 خواهد بود - 1 = 1.

پس از تقسیم 8 بر 2، 4 به دست می آید. دوباره آن را تقسیم می کنیم، زیرا عدد بر دو تقسیم می شود - در باقی مانده 4 - 4 = 0 به دست می آوریم.

ما همان عملیات را با 2 انجام می دهیم. باقیمانده 0 است.

در نتیجه تقسیم، 1 می گیریم.

صرف نظر از سیستم اعداد نهایی، انتقال اعداد از اعشار به هر دیگری بر اساس اصل تقسیم عدد بر اساس سیستم موقعیتی اتفاق می افتد.

تبدیل عدد: از باینری به اعشاری

تبدیل اعداد به اعشار از باینری بسیار آسان است. برای این کار کافی است قوانین افزایش اعداد به توان را بدانید. در این حالت به توان دو.

الگوریتم ترجمه به شرح زیر است: هر رقم از کد اعداد باینری باید در دو ضرب شود، و دو عدد اول به توان m-1، دومی - m-2، و غیره، که در آن m عدد است. از ارقام در کد سپس نتایج جمع را با یک عدد صحیح اضافه کنید.

برای دانش آموزان مدرسه، این الگوریتم را می توان ساده تر توضیح داد:

برای شروع، هر رقم ضرب شده در دو را می گیریم و یادداشت می کنیم، سپس توان دو را از انتها، از صفر شروع می کنیم. سپس عدد حاصل را جمع کنید.

به عنوان مثال، بیایید با شما عدد 1001 را که قبلاً به دست آمده، تجزیه و تحلیل کنیم، آن را به سیستم اعشاری تبدیل کنیم، و در عین حال صحت محاسبات خود را بررسی کنیم.

شبیه این خواهد شد:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

هنگام مطالعه این موضوع، استفاده از جدولی با توان دو راحت است. این به میزان قابل توجهی زمان مورد نیاز برای محاسبات را کاهش می دهد.

سایر گزینه های ترجمه

در برخی موارد، ترجمه را می توان بین باینری و اکتال، باینری و هگزادسیمال انجام داد. در این صورت می‌توانید از جداول مخصوص استفاده کنید یا با انتخاب گزینه «برنامه‌نویس» در تب view، برنامه ماشین حساب را روی رایانه خود اجرا کنید.

عملیات حسابی

صرف نظر از شکلی که عدد در آن نشان داده شده است، می توان محاسباتی را که برای ما آشنا است انجام داد. این می تواند تقسیم و ضرب، تفریق و جمع در سیستم اعدادی که انتخاب کرده اید باشد. البته هر کدام از آنها قوانین خاص خود را دارند.

بنابراین برای سیستم باینری جداول خود را برای هر یک از عملیات توسعه داد. از همین جداول در سایر سیستم های موقعیتی استفاده می شود.

لازم نیست آنها را حفظ کنید - فقط چاپ کنید و در دسترس باشید. همچنین می توانید از ماشین حساب در رایانه شخصی خود استفاده کنید.

یکی از موضوعات مهم در علوم کامپیوتر، سیستم اعداد است. دانستن این مبحث، درک الگوریتم های ترجمه اعداد از یک سیستم به سیستم دیگر تضمینی است برای اینکه بتوانید موضوعات پیچیده تری مانند الگوریتم سازی و برنامه نویسی را درک کنید و بتوانید اولین برنامه خود را به تنهایی بنویسید.

سیستم اعداد باینری-اعشاری به دلیل سهولت تبدیل به و از سیستم اعشاری در رایانه های مدرن رایج شده است. در جایی استفاده می شود که تمرکز بر روی سادگی ساخت فنی دستگاه نیست، بلکه بر راحتی کاربر است. در این سیستم اعداد، تمام ارقام اعشاری به طور جداگانه با چهار رقم باینری کدگذاری می شوند و در این شکل به ترتیب یکی پس از دیگری نوشته می شوند.

سیستم دودویی-اعشاری از نظر اجرای ساخت فنی ماشین مقرون به صرفه نیست (تجهیزات مورد نیاز حدود 20 درصد افزایش می یابد)، اما در تهیه وظایف و برنامه ریزی بسیار راحت است. در سیستم اعداد باینری-اعشاری، پایه سیستم اعداد، عدد 10 است، اما هر رقم اعشاری (0، 1، ...، 9) به صورت ارقام باینری نمایش داده می شود، یعنی کدگذاری شده است. چهار رقم باینری برای نشان دادن یک رقم اعشاری استفاده می شود. در اینجا، البته، افزونگی وجود دارد، زیرا 4 رقم باینری (یا یک تتراد باینری) می تواند نه 10، بلکه 16 عدد را نشان دهد، اما اینها در حال حاضر هزینه های تولید به خاطر راحتی برنامه نویسی هستند. تعدادی سیستم اعشاری با کد دودویی برای نمایش اعداد وجود دارد که از این جهت متفاوت هستند که ترکیبات خاصی از صفر و یک در یک تتراد به مقادیر معینی از ارقام اعشاری اختصاص داده می شوند. در متداول‌ترین سیستم اعداد اعشاری با کد دودویی طبیعی، وزن ارقام باینری داخل تتراد طبیعی است، یعنی 8، 4، 2، 1 (جدول 6).

جدول 6

اعشاری باینری

به عنوان مثال، عدد اعشاری 5673 در BCD 01010110011100011 است.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر بخش مهمی از محاسبات ماشین است. قوانین اساسی ترجمه را در نظر بگیرید.

1. برای تبدیل یک عدد باینری به اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان مربوط به عدد 2 بنویسیم و طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنیم:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول قدرت های دو راحت است:

جدول 7

قدرت های 2

n (درجه)

مثال.تبدیل عدد به سیستم اعداد اعشاری.

2. برای تبدیل یک عدد اکتالی به یک اعشاری، باید آن را به صورت چند جمله ای متشکل از حاصل ضرب ارقام عدد و توان متناظر عدد 8 بنویسیم و طبق قوانین حساب اعشاری محاسبه کنیم:

هنگام ترجمه، استفاده از جدول توان های هشت راحت است:

جدول 8

قدرت های 8

n (درجه)
8n

مثال.شماره 75013 8 به سیستم اعداد اعشاری ترجمه می شود.

(توسعه روش شناختی)

وظیفه: اعداد بیان شده به صورت اعشاری را به شکل باینری تبدیل کنید، سپس ضرب کنید.

نکته: قوانین ضرب دقیقاً مانند سیستم اعداد اعشاری است.

ضرب: 5 × 5 = 25

تبدیل عدد اعشاری 5 به کد باینری

5: 2 = 2 باقیمانده 1 نتیجه

2: 2 = 1 باقیمانده 0 به صورت معکوس نوشته می شود

1:2 = 0 باقیمانده 1 سفارش

بنابراین: 5 (10) = 101 (2)

بیایید عدد اعشاری 25 را به کد باینری تبدیل کنیم

25: 2 = 12 باقیمانده 1

12: 2 = 6 باقیمانده 0 نتیجه

6: 2 = 3 باقیمانده 0 به صورت معکوس نوشته می شود

3: 2 = 1 باقی مانده 1 سفارش

1: 2 = 0 باقیمانده 1

بنابراین: 11001 (2) = 25 (10)

بررسی می کنیم:

انجام ضرب باینری

×

101

+

101

قوانین ضرب در باینری دقیقاً مانند اعشاری است.

1) 1 × 1، 1 خواهد شد، 1 را یادداشت کنید.

2) 1 × 0، 0 خواهد بود، 0 بنویسید.

3) 1 × 1، 1 خواهد شد، 1 را یادداشت کنید.

4) سه صفر می نویسیم که صفر اول زیر علامت دوم (صفر) باشد.

5) ضرب 1 × 101 دقیقاً همان p.p است. 1، 2، 3.

عملیات جمع را انجام می دهیم.

6) تخریب کنید و 1 را یادداشت کنید.

7) 0 +0 صفر می شود، 0 را یادداشت کنید.

8) 1 + 1 می شود 10، صفر را یادداشت می کنیم و یک را به بالاترین رقم منتقل می کنیم.

9) 0 + 0 + 1 می شود 1، بنویسید 1

10) 1 را خراب کرده و یادداشت کنید.

وظیفه 1: ضرب باینری را انجام دهید

وظیفه: اعداد، عبارت اعشاری را به شکل باینری تبدیل کنید، سپس تقسیم کنید.

نکته: قوانین تقسیم دقیقاً مانند سیستم اعداد اعشاری است.

اگر نتیجه بدون باقیمانده تقسیم شود، می نویسیم - 0، در غیر این صورت (با یک باقیمانده) - 1

تقسیم: 10:2 = 5

بیایید عدد اعشاری 10 را به کد باینری تبدیل کنیم:

10:2 = 5 باقیمانده 0 5:2 = 2 باقیمانده 1 2:2 = 1 باقیمانده 0 1:2 = 0 باقیمانده 1

نتیجه

برعکس بنویس

بنابراین: 1010 (2) = 10 (10)

اعشار 2 را به باینری تبدیل کنید

2:2 = 1 باقیمانده 0

1:2 = 0 باقیمانده 1

بنابراین: 10 (2) = 2 (10)

اعشار 5 را به باینری تبدیل کنید

5:2 = 2 باقیمانده 1

2:2 = 1 باقیمانده 0

1:2 = 0 باقیمانده 1

بنابراین: 101 (2) = 5 (10)

بررسی می کنیم:

1010 (2) = 0x2 0 + 1x2 1 + 0x2 2 + 1x2 3 = 0 +2+0+8 =10 (10)

10 (2) = 0×2 0 +1×2 1 = 0 +2 = 2 (10)

101 (2) = 1×2 0 +0×2 1 +1×2 2 = 1+ 0+4 = 5 (10)

ما تقسیم دودویی را انجام می دهیم:

1010 (2) : 10 (2) = 101 (2)

−

1010 (2) 10

−

10

قوانین تقسیم در باینری دقیقاً مانند اعشاری است.

1) 10 تقسیم بر 10. هر کدام را 1 می گیریم، در نتیجه 1 می نویسیم.

2) 1 (یک) را خراب کنید، کافی نیست، 0 (صفر) بگیرید.

3) 1 را می گیریم. از 10 (ده) ، 10 را کم می کنیم ، صفر می گیریم که مربوط به
واقعیت

وظیفه 1: تقسیم را به شکل باینری انجام دهید

1) 10010 (2) : 110 (2) =

11000 (2) : 110 (2) =

2) 110110 (2) : 110 (2) =

وظیفه 2: نتیجه را به شکل اعشاری بازیابی کنید.

وظیفه: اعداد بیان شده به صورت دودویی را کم کنید، نتیجه را به شکل اعشاری برگردانید.

تفریق: 1100 (2) - 110 (2) =

قوانین تفریق به صورت دودویی

تفریق در دودویی مشابه تفریق در اعشار است.

110 0 + 0 = 0

110 0 + 1 = 1

1) 0 به علاوه 0 برابر است با 0 (به قوانین جمع اعداد مراجعه کنید).

2) 1 به اضافه 1 برابر با 10 است. ما صفر می نویسیم و واحد را به مهم ترین رقم منتقل می کنیم، مانند سیستم اعشاری.

3) 1 به علاوه 1 به علاوه 1 برابر است با 11 - یک عدد باینری. ما 1 و واحد دوم را می نویسیم
حرکت به سطح ارشد می گیریم: 1100 (2) که درست است.

وظیفه: نتیجه را بررسی کنید.

1100 (2) = 0x2 0 + 0x2 1 +1x2 2 +1x2 3 = 0 + 0 + 4 + 8 = 12 (10)

110 (2) = 0x2 0 +1x2 1 +1x2 2 = 0 + 2 + 4 = 6 (10)

بنابراین، ما به دست می آوریم: 6 + 6 = 12، که درست است.

خودتان آن را اجرا کنید:

وظیفه 1. تفریق به صورت دودویی:

+

1010 10 (10)

110 6 (10)

10000 مربوط به: 16 (10)

اقدامات به شرح زیر انجام می شود.

1) 0 به علاوه 0 برابر 0 است

2) 1 به علاوه 1 برابر است با 10 (که 2 (دو) به صورت 10 در باینری نمایش داده می شود).
از نظر تاریخی، ده انگشت برای جمع کردن اعداد و بالعکس استفاده می شد:

9 + 1 = 10; 8 + 2 = 10; 1 + 9 = 10; 2 + 8 = 10.

به همین دلیل سیستم اعداد اعشاری به وجود آمد. و در باینری 2 (دو) علامت: 1 و 0

3) 1 به علاوه 0 به اضافه 1 برابر با 10 است. 0 را یادداشت کرده و 1 را انتقال دهید.

4) 1 به علاوه 1 برابر است با 10 زیرا چنین است آخرین اقدام، 10 را یادداشت می کنیم، در سیستم اعشاری به همین ترتیب این کار را انجام دادیم.

وظیفه: نتیجه به دست آمده را بررسی کنید:

110

نمونه ای از سیستم اعداد مختلط است سیستم اعشاری دودویی . در BCD، هر رقم اعشاری با 4 بیت نشان داده می شود، زیرا حداکثر رقم اعشاری 9 به صورت 1001 2 کدگذاری می شود. مثلا،

925 10 = 1001 0010 0101 2-10 .

در اینجا، چهار برابر (تتراد) متوالی ارقام باینری به ترتیب اعداد 9، 2 و 5 نماد اعشاری را نشان می دهند.

اگرچه نماد اعشاری با کد باینری فقط از ارقام 0 و 1 استفاده می کند، اما این نماد با نمایش دودویی عدد داده شده متفاوت است. به عنوان مثال، کد باینری 1001 0010 0101 مربوط به عدد اعشاری 2341 است نه 925.

اگر P=Q l (l یک عدد صحیح مثبت است)، نماد هر عدد در سیستم اعداد مختلط به طور یکسان با تصویر این عدد در سیستم اعداد با پایه Q مطابقت دارد. نمونه‌هایی از چنین سیستم اعداد مختلط عبارتند از: باینری-اکتال و باینری-هگزادسیمال

مثلا،

A2 16 = 1010 0010 2 = 1010 0010 2-16

نمایش اعداد منفی در فرمت نقطه ثابت

در رایانه ها، به منظور ساده سازی عملکرد عملیات حسابی، از کدهای باینری ویژه برای نمایش اعداد منفی استفاده می شود: معکوس و اضافی. با کمک این کدها، تعیین علامت نتیجه یک عملیات در جمع جبری ساده می شود. عملیات تفریق (یا جمع جبری) به جمع حسابی عملوندها کاهش می یابد، توسعه علائم سرریز شبکه بیت تسهیل می شود. در نتیجه، دستگاه های رایانه ای که عملیات حسابی را انجام می دهند، ساده می شوند.

مشخص است که یکی از راه های انجام عمل تفریق این است که علامت فرعی را برعکس تغییر داده و آن را به minuend اضافه کنیم:

A - B \u003d A + (- B)

این عمل جایگزین عمل تفریق حسابی با عمل جمع جبری می شود که با استفاده از جمع کننده های باینری قابل انجام است.

برای نمایش ماشینی اعداد منفی، از کدها استفاده می شود مستقیم، مکمل، معکوس. تعریف ساده ای از این کدها را می توان به صورت زیر ارائه کرد. اگر عدد A در کد باینری معمولی - مستقیمکد باینری، نشان دادن به عنوان

[A] pr = 0.an an-1 an-2.....a1 a0،

سپس عدد -A در همان کد به صورت نمایش داده می شود

[-A]pr = 1.an an-1 an-2.....a1 a0،

و در معکوسکد (معکوس)، این عدد به شکل زیر خواهد بود:

[-A]rev = 1.an an-1 an-2.....a1 a0،

ai = 1 اگر ai = 0،

ai = 0 اگر ai = 1،

آمن - رقم من-امین رقم عدد باینری بنابراین، هنگام عبور از کد مستقیم به معکوس، تمام ارقام ارقام ماتیس عدد معکوس می شوند.

سپس عدد -A در اضافیکد به صورت نشان داده شده است

[-A] افزودن \u003d [-A] برگردان + 1

بنابراین، برای به دست آوردن یک کد اضافی از اعداد منفی، ابتدا باید قسمت دیجیتالی عدد اصلی را معکوس کرده و در نتیجه کد آن را معکوس کنید و سپس یک عدد را به کم‌اهمیت‌ترین بیت قسمت دیجیتال عدد اضافه کنید.

کد اضافی برخی از شماره ها با جایگزینی آن با یک شماره جدید به دست می آید. مکملآن را به عددی برابر با وزن رقمی که پس از مهم‌ترین رقم شبکه بیتی که برای نشان دادن آخوندک یک عدد در قالب نقطه ثابت استفاده می‌شود، برابر است. بنابراین، چنین کد عددی اضافی نامیده می شود.

تصور کنید که ما فقط دو رقم برای نمایش اعداد در اعشار داریم. سپس حداکثر عددی که می تواند نمایش داده شود 99 خواهد بود و وزن سومین مرتبه بالای ناموجود 10 2 خواهد بود، یعنی. 100. در این صورت برای عدد 20 عدد اضافی 80 خواهد بود که 20 تا 100 را تکمیل می کند (100 - 20 = 80). بنابراین، طبق تعریف، تفریق

را می توان با اضافه جایگزین کرد:

در اینجا، بالاترین واحد فراتر از شبکه بیت اختصاص داده شده است، که در آن فقط عدد 30 باقی می ماند، یعنی. نتیجه تفریق 20 از 50.

حال بیایید به مثال مشابهی برای اعدادی که توسط یک کد باینری 4 بیتی نشان داده شده اند نگاه کنیم. بیایید یک عدد اضافی برای 0010 2 = 210 پیدا کنیم. لازم است 0010 را از 0000 کم کنیم، 1110 به دست می آید که کد اضافی 2 است. بیت نشان داده شده در کروشه در واقع وجود ندارد. اما از آنجایی که ما یک شبکه 4 رقمی داریم، اساساً انجام چنین تفریقی غیرممکن است و حتی بیشتر از آن، سعی می کنیم از تفریق خلاص شویم. بنابراین، کد شماره اضافی به روشی که قبلا توضیح داده شد، به دست می آید. ابتدا کد معکوس عدد را می گیریم و سپس 1 را به آن اضافه می کنیم. با انجام همه این کارها با عدد (2)، به راحتی می توان دریافت که پاسخ مشابهی دریافت می کنیم.

ما بر آن تاکید می کنیم کدهای مکمل و بازگشتی two فقط برای نمایش اعداد باینری منفی به شکل نقطه ثابت استفاده می شوند. اعداد مثبت در این کدها تغییری در تصویر خود نمی دهند و به صورت کد مستقیم ارائه می شوند.

بنابراین، ارقام دیجیتالی یک عدد منفی در کد مستقیمبدون تغییر باقی می ماند و یک در قسمت علامت نوشته می شود.

بیایید به چند مثال ساده نگاه کنیم.

هفت در کد مستقیم به صورت زیر نمایش داده می شود:

pr = 0.0001112

شماره -7 در کد مستقیم:

[-7] pr = 1.0001112،

و در کد معکوس به نظر می رسد

[-7] دور = 1.1110002،

آن ها یک ها با صفر و صفرها با یک ها جایگزین می شوند. همان عدد در متمم دو خواهد بود:

[-7]افزودن = 1.1110012.

مجدداً در نظر بگیرید که چگونه روش تفریق، با کمک نمایش مکمل این دو از subtrahend، به روش جمع کاهش می یابد. عدد 7 را از 10 کم کنید: 10 - 7 = 3. اگر هر دو عملوند در کد مستقیم ارائه شوند، روش تفریق به صورت زیر انجام می شود:

-1.000111

و اگر کم شود، یعنی. -7، در کد مکمل دو نشان داده می شود، سپس روش تفریق به رویه جمع کاهش می یابد:

+ 1.111001

1 0.000011 = 310.

در حال حاضر، رایانه‌ها معمولاً از مکمل دو برای نمایش اعداد منفی در قالب نقطه ثابت استفاده می‌کنند.

شکل نمایش اعداد در اتوماتای ​​دیجیتال مجموعه ای از قوانین است که به شما امکان می دهد یک مطابقت متقابل بین نماد یک عدد و معادل کمی آن برقرار کنید.

تصویر ماشینی (خودکار) یک عدداین است نمایش یک عدد در شبکه بیتی یک ماشین دیجیتال. سمبلنمایش ماشینی یک عدد، به عنوان مثال، A به صورت نمایش داده می شود [آ].

به دلیل محدود بودن طول کلمات ماشینی، مجموعه اعدادی که می توان در یک ماشین نشان داد محدود است. مقایسه اشکال مختلف نمایش اعداد در رایانه ها معمولاً بر اساس یک تخمین انجام می شود محدوده و دقت نمایش اعداد.

در تمرین روزمره، رایج ترین شکل نمایش اعداد به صورت دنباله ای از ارقام است که با کاما به قسمت های صحیح و کسری از هم جدا می شوند. اعداد ارائه شده در این فرم را اعداد می نامند. با کاما یا اعداد طبیعی به شکل طبیعی. در شکل طبیعی، یک عدد به شکل طبیعی خود نوشته می شود، به عنوان مثال، 12560 یک عدد صحیح، 0.003572 یک کسر مناسب، 4.89760 یک کسری نامناسب است.

هنگام نمایش اعداد در این فرم، لازم است که هر عدد موقعیت کامای خود را در شبکه بیت اختصاص داده شده برای نشان دادن عدد در دستگاه نشان دهد، که مستلزم هزینه های سخت افزاری اضافی با مقدار نسبتاً زیادی است. بنابراین، دو شکل دیگر از نمایش در رایانه ها رایج شده است: نقطه ثابت و شناور (نقطه).

اگر جای کاما در شبکه بیت دستگاه از قبل یک بار برای همیشه ثابت شده باشد، نیاز به نشان دادن موقعیت کاما حذف می شود. به این شکل از نمایش اعداد، نمایش با نامیده می شود کاما ثابت (نقطه).

از آنجایی که اعداد مثبت و منفی هستند، فرمت (شبکه بیت) تصویر ماشین به دو دسته تقسیم می شود قسمت امضاو فیلد شماره. فیلد شماره حاوی تصویر خود شماره است که ما به طور متعارف آن را فراخوانی می کنیم مانتیسشماره. برای رمزگذاری علامت یک عدد، مهم ترین بیت شبکه بیت اختصاص داده شده برای تصویر یک عدد باینری استفاده می شود و بیت های باقی مانده به مانتیس عدد اختصاص داده می شود. موقعیت کاما در شبکه بیت کاملاً ثابت است، معمولاً یا در سمت راست کم‌اهمیت‌ترین رقم مانتیس یا در سمت چپ بزرگ‌ترین رقم. در مورد اول، عدد به عنوان یک کل، در مورد دوم - به عنوان یک کسر مناسب نمایش داده می شود.. اکثریت قریب به اتفاق رایانه ها در حال حاضر اعداد صحیح را در قالب نقطه ثابت نشان می دهند.

قسمت علامت حاوی اطلاعاتی در مورد علامت عدد است. فرض بر این است که علامت عدد مثبت "+" توسط نماد نشان داده شده است 0, و علامت عدد منفی "-" توسط نماد نشان داده شده است 1.

به عنوان مثال، در باینری، با استفاده از یک شبکه 6 بیتی، عدد 7 را به صورت نقطه ثابت می توان به صورت زیر نشان داد:

که در آن رقم سمت چپ نقطه علامت عدد است و پنج رقم سمت راست نقطه مانتیس عدد در کد مستقیم است. در اینجا به طور ضمنی اشاره می شود که کاما در سمت راست کمترین رقم ثابت استو نقطه در تصویر عدد در این حالت به سادگی بیت علامت را از مانتیس عدد جدا می کند.

در آینده، این نوع نمایش یک عدد به صورت ماشینی، اغلب در نمونه ها استفاده خواهد شد. می‌توانید از شکل دیگری برای نمایش یک عدد به شکل ماشینی استفاده کنید:

جایی که بیت علامت در پرانتز محصور شده است.

تعداد ارقام در شبکه بیت که برای تصویر مانتیس یک عدد رزرو شده است، محدوده و دقت نمایش یک عدد نقطه ثابت را تعیین می کند. حداکثر عدد دودویی در مقدار مطلق با واحدهای تمام ارقام نشان داده می شود، به استثنای علامت یک، یعنی. برای عدد صحیح

|A|max = (2 (n -1) - 1)،

جایی که nطول کل شبکه بیت است. در مورد یک شبکه 16 بیتی

|الف| حداکثر = (2 (16-1) - 1) = 32767 10،

آن ها محدوده نمایش اعداد صحیح در این مورد از +3276710 تا -3276710 خواهد بود.

برای موردی که کاما در سمت راست رقمی با اهمیت کمتر از آخوندک ثابت است، یعنی. برای اعداد صحیح، اعدادی که مدول آنها بزرگتر از

(2 (n-1) - 1) و کمتر از یک به صورت نقطه ثابت نشان داده نمی شوند. اعدادی که در قدر مطلق کمتر از یکی از ارقام کم اهمیت شبکه بیت هستند، در این حالت ماشین صفر نامیده می شوند. صفر منفی ممنوع است.

در برخی موارد، هنگامی که می توان فقط با ماژول های اعداد کار کرد، کل شبکه رقمی، از جمله مهم ترین رقم، به نمایش یک عدد اختصاص داده می شود که امکان گسترش دامنه نمایش اعداد را فراهم می کند.