Գտեք ֆունկցիայի գրաֆիկի արժեքը: Ֆունկցիայի գրաֆիկի ուսումնասիրություն

Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով գրաֆիկը: Ստացվում է, որ նայելով գրաֆիկին, մենք կարող ենք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է, մասնավորապես.

• ֆունկցիայի տիրույթ
• ֆունկցիայի տիրույթ
• ֆունկցիայի զրոներ
• աճման և նվազման ընդմիջումներով
• առավելագույն և նվազագույն միավորներ
• սեգմենտի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը:

Եկեք պարզաբանենք տերմինաբանությունը.

Աբսցիսսակետի հորիզոնական կոորդինատն է:
ձեռնադրել- ուղղահայաց կոորդինատ.
Abscissa առանցք- հորիզոնական առանցքը, որն առավել հաճախ կոչվում է առանցք:
Y առանցք- ուղղահայաց առանցք կամ առանցք.

Փաստարկ- անկախ փոփոխական, որից կախված են ֆունկցիայի արժեքները: Առավել հաճախ նշվում է.
Այլ կերպ ասած, մենք ընտրում ենք, ֆունկցիաները փոխարինում բանաձևի մեջ և ստանում:

Դոմենգործառույթներ - այն (և միայն այդ) փաստարկների արժեքների հավաքածու, որոնց համար գոյություն ունի գործառույթը:
Նշվում է՝ կամ .

Մեր նկարում ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հատվածն է։ Հենց այս հատվածի վրա է գծվում ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Միայն այստեղ այս գործառույթըգոյություն ունի։

Ֆունկցիոնալ տիրույթայն արժեքների բազմությունն է, որը վերցնում է փոփոխականը: Մեր գործչի մեջ սա հատված է՝ ամենացածրից մինչև ամենաբարձր արժեքը:

Գործառույթների զրոներ- կետեր, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը զրո է, այսինքն. Մեր նկարում սրանք կետեր են և .

Ֆունկցիոնալ արժեքները դրական ենորտեղ . Մեր պատկերում սրանք ընդմիջումներն են և .
Ֆունկցիայի արժեքները բացասական ենորտեղ . Մեզ համար սա միջակայքն է (կամ ընդմիջումը) մինչև .

Ամենակարևոր հասկացությունները. աճող և նվազող գործառույթորոշ հավաքածուի վրա: Որպես բազմություն, դուք կարող եք վերցնել հատված, միջակայք, միջակայքերի միություն կամ ամբողջ թվային տողը:

Գործառույթ ավելանում է

Այսինքն՝ որքան շատ, այնքան ավելի, այսինքն՝ գրաֆիկը գնում է դեպի աջ և վեր։

Գործառույթ նվազում էբազմության վրա, եթե որևէ մեկի համար և պատկանում է բազմությանը, անհավասարությունը ենթադրում է անհավասարություն:

Նվազող ֆունկցիայի համար ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է փոքր արժեքին: Գրաֆիկը գնում է դեպի աջ և ներքև:

Մեր նկարում ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում և նվազում է ընդմիջումներով և .

Եկեք սահմանենք, թե ինչ է դա ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն միավորները.

Առավելագույն միավոր- սա սահմանման տիրույթի ներքին կետն է, այնպիսին, որ ֆունկցիայի արժեքը նրանում ավելի մեծ է, քան դրան բավական մոտ բոլոր կետերում:
Այլ կերպ ասած, առավելագույն կետը այն կետն է, որտեղ ֆունկցիայի արժեքը ավելինքան հարևաններում։ Սա տեղական «բլուր» է գծապատկերում:

Մեր նկարում կա առավելագույն միավոր:

Նվազագույն միավոր- սահմանման տիրույթի ներքին կետ, այնպիսին, որ ֆունկցիայի արժեքը նրանում փոքր է, քան դրան բավական մոտ բոլոր կետերում:
Այսինքն՝ նվազագույն կետն այնպիսին է, որ ֆունկցիայի արժեքը նրանում փոքր է, քան իր հարեւաններում։ Սա լոկալ «անցք» է գրաֆիկի վրա:

Մեր նկարում կա նվազագույն կետ.

Կետը սահմանն է: Այն սահմանման տիրույթի ներքին կետ չէ և, հետևաբար, չի համապատասխանում առավելագույն կետի սահմանմանը: Ի վերջո, նա ձախ կողմում հարևաններ չունի: Նույն կերպ, մեր գծապատկերում չի կարող նվազագույն միավոր լինել։

Առավելագույն և նվազագույն միավորները միասին կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը. Մեր դեպքում սա և .

Ինչ անել, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել, օրինակ. նվազագույն գործառույթհատվածի վրա? Այս դեպքում պատասխանը հետևյալն է. Որովհետեւ նվազագույն գործառույթդրա արժեքն է նվազագույն կետում:

Նմանապես, մեր գործառույթի առավելագույնը . Այն հասնում է կետին:

Կարելի է ասել, որ ֆունկցիայի ծայրահեղությունները հավասար են և .

Երբեմն խնդիրները պահանջում են գտնել ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքներըտվյալ հատվածի վրա։ Պարտադիր չէ, որ դրանք համընկնեն ծայրահեղությունների հետ։

Մեր դեպքում ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքըհատվածի վրա հավասար է և համընկնում է ֆունկցիայի նվազագույնի հետ: Բայց դրա ամենամեծ արժեքը այս հատվածում հավասար է . Այն հասնում է հատվածի ձախ վերջում:

Ամեն դեպքում, հատվածի վրա շարունակական ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները ձեռք են բերվում կամ ծայրամասային կետերում կամ հատվածի ծայրերում:

Գորկունովա Օլգա Միխայլովնա

http://gorkunova.ucoz.ru

1. Հետևյալ ֆունկցիաներից ո՞րն է պատկերված նկարում.

3. Զրոները համեմատե՛ք գրաֆիկի հետ

2. Հետևյալ ֆունկցիաներից ո՞րն է պատկերված նկարում.

3. Գտե՛ք a-ի արժեքը y = ax2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկից

y = a (x – m)2 + n

(m; n) – պարաբոլայի գագաթ

1. (m; n) = (-1; 2) - վերև

2. Փոխարինեք արժեքները հավասարման մեջ.

a (0 + 1)2 + 2 = 3 a = 3 – 2 a = 1

4. Գտե՛ք b-ի արժեքը y = ax2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկից

Parabola abscissa բանաձեւը.

Մենք գրում ենք պարաբոլային հավասարումը y = ax 2 + bx + c մեկ այլ ձևով.

y = a (x – m)2 + n

(m; n) – պարաբոլայի գագաթ Որոնում.

1. Նախ գտնենք գործակիցը a

(m; n) = (-1; 2) - վերև

(x; y) = (0; 3) - պարաբոլայի կետ

ա (0 + 1)2 + 2 = 3

a = 3 – 2

a = 1

5. Գտե՛ք c-ի արժեքը y = ax2 + bx + c ֆունկցիայի գրաֆիկից

(0; գ) – պարաբոլայի հատման կետը Oy առանցքի հետ

Պատասխան՝ c = 3

y = ax2 + bx + c

Նշում. Միշտ չէ, որ հնարավոր է անվանել Oy-ի հետ հատման կետի օրդինատը:

Որոնել արժեքը հետևյալով.

6. y k x ֆունկցիայի գրաֆիկից գտե՛ք k-ի արժեքը:

1.k< 0

(հիպերբոլայի ճյուղերը գտնվում են 2k և 4 քառորդներում),

2. Ընտրեք կամայական կետ գրաֆիկի վրա, օրինակ՝ A (1; -2)

7. Նշեք ֆունկցիայի գրաֆիկը ցույց տվող նկարի թիվը

y = x 2 – 2x + 3

Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, քառակուսի ֆունկցիայի հատկությունների և գրաֆիկների առաջադրանքները լուրջ դժվարություններ են առաջացնում: Սա բավականին տարօրինակ է, քանի որ նրանք ուսումնասիրում են քառակուսի ֆունկցիան 8-րդ դասարանում, իսկ հետո 9-րդ դասարանի առաջին եռամսյակում նրանք «տանջում են» պարաբոլայի հատկությունները և կառուցում դրա գրաֆիկները տարբեր պարամետրերի համար:

Դա պայմանավորված է նրանով, որ ուսանողներին պարաբոլներ կառուցելիս ստիպելիս նրանք գործնականում ժամանակ չեն հատկացնում գրաֆիկները «կարդալու», այսինքն՝ չեն պարապում նկարից ստացված տեղեկատվությունը ըմբռնելուն։ Ըստ երևույթին, ենթադրվում է, որ մեկ տասնյակ կամ երկու գծապատկերներ կառուցելուց հետո խելացի ուսանողն ինքը կբացահայտի և կձևակերպի բանաձևի և գործակիցների միջև կապը: տեսքըգրաֆիկական արվեստ. Գործնականում դա չի աշխատում: Նման ընդհանրացման համար անհրաժեշտ է մաթեմատիկական մինի հետազոտության լուրջ փորձ, որին իններորդ դասարանցիների մեծ մասն, իհարկե, չի տիրապետում։ Մինչդեռ պետական ​​տեսչությունն առաջարկում է ժամանակացույցի միջոցով որոշել գործակիցների նշանները։

Դպրոցականներից չենք պահանջելու անհնարինը և ուղղակի կառաջարկենք նման խնդիրների լուծման ալգորիթմներից մեկը։

Այսպիսով, ձևի ֆունկցիա y = կացին 2 + bx + cկոչվում է քառակուսային, դրա գրաֆիկը պարաբոլա է: Ինչպես անունն է հուշում, հիմնական տերմինն է կացին 2. Այն է Աչպետք է հավասար լինի զրոյի, մնացած գործակիցները ( բԵվ Հետ) կարող է հավասար լինել զրո:

Տեսնենք, թե ինչպես են դրա գործակիցների նշանները ազդում պարաբոլայի տեսքի վրա։

Ամենապարզ կախվածությունը գործակցի համար Ա. Դպրոցականներից շատերը վստահորեն պատասխանում են. «եթե Ա> 0, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, և եթե Ա < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой Ա > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Այս դեպքում Ա = 0,5

Եվ հիմա համար Ա < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Այս դեպքում Ա = - 0,5

Գործակիցի ազդեցությունը ՀետԱյն նաև բավականին հեշտ է հետևել: Եկեք պատկերացնենք, որ մենք ցանկանում ենք գտնել ֆունկցիայի արժեքը մի կետում X= 0. Փոխարինեք զրո բանաձևի մեջ.

y = ա 0 2 + բ 0 + գ = գ. Պարզվում է, որ y = գ. Այն է Հետպարաբոլայի y առանցքի հետ հատման կետի օրդինատն է։ Սովորաբար այս կետը հեշտ է գտնել գրաֆիկի վրա: Եվ որոշեք՝ այն գտնվում է զրոյից վեր, թե ներքևում: Այն է Հետ> 0 կամ Հետ < 0.

Հետ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Հետ < 0

y = x 2 + 4x - 3

Համապատասխանաբար, եթե Հետ= 0, ապա պարաբոլան անպայման կանցնի ծագման միջով.

y = x 2 + 4x

Ավելի դժվար է պարամետրով բ. Այն կետը, որտեղ մենք դա կգտնենք, կախված է ոչ միայն բայլ նաև ից Ա. Սա պարաբոլայի գագաթն է: Դրա աբսիսսա (առանցքի կոորդինատ X) հայտնաբերվում է բանաձևով x in = - b/(2a). Այսպիսով, b = - 2 ax in. Այսինքն՝ մենք գործում ենք հետևյալ կերպ՝ գրաֆիկի վրա գտնում ենք պարաբոլայի գագաթը, որոշում նրա աբսցիսայի նշանը, այսինքն՝ նայում ենք զրոյի աջ կողմը ( x in> 0) կամ դեպի ձախ ( x in < 0) она лежит.

Այնուամենայնիվ, սա դեռ ամենը չէ: Պետք է ուշադրություն դարձնել նաև գործակցի նշանին Ա. Այսինքն՝ տեսեք, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը։ Եվ միայն դրանից հետո՝ ըստ բանաձեւի b = - 2 ax inորոշել նշանը բ.

Դիտարկենք օրինակ.

Ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, ինչը նշանակում է Ա> 0, պարաբոլան հատում է առանցքը ժամըզրոյից ցածր, այսինքն Հետ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Այսպիսով b = - 2 ax in = -++ = -. բ < 0. Окончательно имеем: Ա > 0, բ < 0, Հետ < 0.