Գծային ֆունկցիա. Գծային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը Գծային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը y 3

Գծային ֆունկցիան y=kx+b ձևի ֆունկցիա է, որտեղ x-ը անկախ փոփոխականն է, k-ն և b-ն ցանկացած թվեր են։
Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։

1. Կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկ, մեզ անհրաժեշտ են ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող երկու կետերի կոորդինատները։ Դրանք գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել երկու x արժեք, փոխարինել դրանք ֆունկցիայի հավասարման մեջ և օգտագործել դրանք համապատասխան y արժեքները հաշվարկելու համար։

Օրինակ՝ y= x+2 ֆունկցիան գծագրելու համար հարմար է վերցնել x=0 և x=3, ապա այս կետերի օրդինատները հավասար կլինեն y=2 և y=3։ Ստանում ենք A(0;2) և B(3;3) միավորները: Միացնենք դրանք և ստանանք y= x+2 ֆունկցիայի գրաֆիկը.

2. y=kx+b բանաձևում k թիվը կոչվում է համաչափության գործակից.
եթե k>0, ապա y=kx+b ֆունկցիան մեծանում է
եթե կ
b գործակիցը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժը OY առանցքի երկայնքով.
եթե b>0, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ b միավորները դեպի վեր տեղափոխելով OY առանցքի երկայնքով:
եթե բ
Ստորև բերված նկարում ներկայացված են y=2x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկները; y= ½ x+3; y=x+3

Նշենք, որ այս բոլոր ֆունկցիաներում գործակիցը k Զրոյից վեր,իսկ գործառույթներն են աճող։Ընդ որում, որքան մեծ է k-ի արժեքը, այնքան մեծ է ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի OX առանցքի դրական ուղղությունը։

Բոլոր գործառույթներում b=3 - և մենք տեսնում ենք, որ բոլոր գրաֆիկները հատում են OY առանցքը (0;3) կետում:

Այժմ դիտարկենք y=-2x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկները; y=- ½ x+3; y=-x+3

Այս անգամ բոլոր ֆունկցիաներում գործակիցը k զրոյից պակասև գործառույթներ նվազում են։Գործակից b=3, իսկ գրաֆիկները, ինչպես նախորդ դեպքում, հատում են OY առանցքը (0;3) կետում:

Դիտարկենք y=2x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկները; y=2x; y=2x-3

Այժմ բոլոր ֆունկցիաների հավասարումների մեջ k գործակիցները հավասար են 2-ի: Եվ ստացանք երեք զուգահեռ ուղիղ:

Բայց b գործակիցները տարբեր են, և այս գրաֆիկները հատում են OY առանցքը տարբեր կետերում.
y=2x+3 (b=3) ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է OY առանցքը (0;3) կետում.
y=2x (b=0) ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է OY առանցքը (0;0) - սկզբնակետում:
y=2x-3 (b=-3) ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է OY առանցքը (0;-3) կետում:

Այսպիսով, եթե գիտենք k և b գործակիցների նշանները, ապա անմիջապես կարող ենք պատկերացնել, թե ինչպիսին է y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկը։
Եթե k 0

Եթե k>0 և b>0, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

Եթե k>0 և բ, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

Եթե k, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

Եթե k=0, ապա y=kx+b ֆունկցիան վերածվում է y=b ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

y=b ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերի օրդինատները հավասար են b-ի Եթե b=0, ապա y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկը (ուղիղ համաչափություն) անցնում է սկզբնաղբյուրով.

3. Առանձին նշենք x=a հավասարման գրաֆիկը։Այս հավասարման գրաֆիկը OY առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ է, որի բոլոր կետերն ունեն աբսցիսա x=a։

Օրինակ, x=3 հավասարման գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.
Ուշադրություն. x=a հավասարումը ֆունկցիա չէ, ուստի փաստարկի մեկ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի տարբեր արժեքներին, որոնք չեն համապատասխանում ֆունկցիայի սահմանմանը:

4. Երկու ուղիղների զուգահեռության պայման.

y=k 1 x+b 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը զուգահեռ է y=k 2 x+b 2 ֆունկցիայի գրաֆիկին, եթե k 1 =k 2.

5. Երկու ուղիղ գծերի ուղղահայաց լինելու պայմանը.

y=k 1 x+b 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղղահայաց է y=k 2 x+b 2 ֆունկցիայի գրաֆիկին, եթե k 1 *k 2 =-1 կամ k 1 =-1/k 2.

6. y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

OY առանցքով: OY առանցքին պատկանող ցանկացած կետի աբսցիսան հավասար է զրոյի: Հետևաբար, OY առանցքի հետ հատման կետը գտնելու համար պետք է ֆունկցիայի հավասարման մեջ x-ի փոխարեն փոխարինել զրո: Մենք ստանում ենք y=b: Այսինքն՝ OY առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (0; b):

OX առանցքով. OX առանցքին պատկանող ցանկացած կետի օրդինատը զրո է: Հետևաբար, OX առանցքի հետ հատման կետը գտնելու համար պետք է ֆունկցիայի հավասարման մեջ y-ի փոխարեն զրո փոխարինել: Ստանում ենք 0=kx+b։ Հետեւաբար x=-b/k. Այսինքն՝ OX առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (-b/k;0).

Գծային ֆունկցիայի սահմանում

Ներկայացնենք գծային ֆունկցիայի սահմանումը

Սահմանում

$y=kx+b$ ձևի ֆունկցիան, որտեղ $k$-ը զրո չէ, կոչվում է գծային ֆունկցիա։

Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։ $k$ թիվը կոչվում է գծի թեքություն։

Երբ $b=0$ գծային ֆունկցիան կոչվում է ուղիղ համեմատականության ֆունկցիա $y=kx$։

Դիտարկենք Գծապատկեր 1-ը:

Բրինձ. 1. Գծի թեքության երկրաչափական նշանակությունը

Դիտարկենք ABC եռանկյունը: Մենք տեսնում ենք, որ $ВС=kx_0+b$: Գտնենք $y=kx+b$ ուղիղի հատման կետը $Ox$ առանցքի հետ:

\ \

Այսպիսով, $AC=x_0+\frac(b)(k)$: Գտնենք այս կողմերի հարաբերակցությունը.

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Մյուս կողմից՝ $\frac(BC)(AC)=tg\անկյուն A$։

Այսպիսով, մենք կարող ենք անել հետևյալ եզրակացությունը.

Եզրակացություն

$k$ գործակցի երկրաչափական նշանակությունը. $k$ ուղիղ գծի անկյունային գործակիցը հավասար է $Ox$ առանցքին այս ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը։

$f\left(x\right)=kx+b$ գծային ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկի ուսումնասիրություն

Նախ հաշվի առեք $f\left(x\right)=kx+b$ ֆունկցիան, որտեղ $k > 0$:

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$: Հետևաբար, այս գործառույթըավելանում է սահմանման ողջ տիրույթում: Չկան ծայրահեղ կետեր:
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) kx\ )=+\infty $
3. Գրաֆիկ (նկ. 2):

Բրինձ. 2. $y=kx+b$ ֆունկցիայի գրաֆիկները՝ $k > 0$-ի համար։

Այժմ դիտարկենք $f\left(x\right)=kx$ ֆունկցիան, որտեղ $k

1. Սահմանման տիրույթը բոլոր թվերն են:
2. Արժեքների միջակայքը բոլոր թվերն են:
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$: Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:
4. $x=0,f\left(0\աջ)=b$-ի համար: Երբ $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$:

Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր՝ $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ և $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$ Հետևաբար ֆունկցիան չունի թեքման կետեր:
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) kx\ )=-\infty $
4. Գրաֆիկ (նկ. 3):

Գծային ֆունկցիակոչվում է ձևի ֆունկցիա y = kx + b, սահմանված բոլոր իրական թվերի բազմության վրա։ Այստեղ կ- թեքություն (իրական թիվ), բ – ազատ ժամկետ (իրական համար), x- անկախ փոփոխական.

Հատուկ դեպքում, եթե k = 0, ստանում ենք հաստատուն ֆունկցիա y = բ, որի գրաֆիկը կոորդինատներով կետով անցնող Ox առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ է. (0; բ).

Եթե b = 0, ապա ստանում ենք ֆունկցիան y = kx, որն է ուղիղ համեմատականություն.

բ – հատվածի երկարությունը, որը կտրված է Oy առանցքի երկայնքով ուղիղ գծով՝ սկզբից հաշվելով։

Գործակիցի երկրաչափական նշանակությունը կ – թեքության անկյունուղիղ դեպի Ox առանցքի դրական ուղղությունը, որը դիտարկվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Գծային ֆունկցիայի հատկությունները.

1) Գծային ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ իրական առանցքն է.

2) Եթե k ≠ 0, ապա գծային ֆունկցիայի արժեքների միջակայքն ամբողջ իրական առանցքն է: Եթե k = 0, ապա գծային ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը բաղկացած է թվից բ;

3) Գծային ֆունկցիայի հավասարությունն ու տարօրինակությունը կախված են գործակիցների արժեքներից կԵվ բ.

ա) b ≠ 0, k = 0,հետևաբար, y = b – զույգ;

բ) b = 0, k ≠ 0,հետևաբար y = kx – կենտ;

գ) b ≠ 0, k ≠ 0,հետևաբար y = kx + b – ընդհանուր ձևի ֆունկցիա;

դ) b = 0, k = 0,հետևաբար y = 0 – զույգ և կենտ ֆունկցիաներ:

4) Գծային ֆունկցիան չունի պարբերականության հատկություն.

5) Կոորդինատային առանցքներով հատման կետեր.

Եզ: y = kx + b = 0, x = -b/k, հետևաբար (-b/k; 0)– հատման կետ աբսցիսայի առանցքի հետ.

Oy: y = 0k + b = b, հետևաբար (0; բ)– հատման կետ օրդինատների առանցքի հետ.

Նշում. Եթե b = 0Եվ k = 0, ապա ֆունկցիան y = 0փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար գնում է զրոյի X. Եթե b ≠ 0Եվ k = 0, ապա ֆունկցիան y = բչի անհետանում փոփոխականի որևէ արժեքի համար X.

6) Նշանի կայունության միջակայքերը կախված են k գործակիցից։

ա) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k:

y = kx + b- դրական, երբ x-ից (-b/k; +∞),

y = kx + b- բացասական, երբ x-ից (-∞; -b/k).

բ) կ< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- դրական, երբ x-ից (-∞; -b/k),

y = kx + b- բացասական, երբ x-ից (-b/k; +∞).

գ) k = 0, b > 0; y = kx + bդրական ամբողջ սահմանման միջակայքում,

k = 0, բ< 0; y = kx + b բացասական ողջ սահմանման տիրույթում:

7) Գծային ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը կախված են գործակիցից կ.

k > 0, հետևաբար y = kx + bավելանում է սահմանման ողջ տիրույթում,

կ< 0 , հետևաբար y = kx + bնվազում է սահմանման ողջ տիրույթում:

8) Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է: Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ երկու կետ. Ուղիղ գծի դիրքը կոորդինատային հարթության վրա կախված է գործակիցների արժեքներից կԵվ բ. Ստորև բերված է աղյուսակ, որը հստակորեն ցույց է տալիս դա: