Wo wird das binäre Dezimalsystem verwendet. Schreiben Sie Dezimalzahlen (binär codierte Dezimalzahl). Warum ist das binäre Zahlensystem so verbreitet?

Das Konzept eines gemischten Zahlensystems

Unter den Zahlensystemen ist eine Klasse der sog gemischte Zahlensysteme.

Bestimmung 1

Gemischt heißt so Notation, in dem Zahlen, die in einem Zahlensystem mit der Basis $P$ angegeben sind, durch Ziffern eines anderen Zahlensystems mit der Basis $Q$ dargestellt werden, wobei $Q

Gleichzeitig wird in einem solchen Zahlensystem, um Diskrepanzen zu vermeiden, für die Darstellung jeder Ziffer des Systems mit der Basis $P$ die gleiche Anzahl von Ziffern des Systems mit der Basis $Q$ zugeordnet, ausreichend um repräsentieren eine beliebige Ziffer des Systems mit der Basis $P$.

Ein Beispiel für ein gemischtes Zahlensystem ist das binäre Dezimalsystem.

Praktische Begründung für die Verwendung des Binär-Dezimal-Zahlensystems

Da eine Person in ihrer Praxis häufig das Dezimalzahlensystem verwendet und es für einen Computer üblich ist, mit Binärzahlen und Binärarithmetik zu arbeiten, wurde eine Kompromissoption in die Praxis eingeführt - binär codierte Dezimalschreibweise, das normalerweise verwendet wird, wenn das dezimale E / A-Verfahren häufig verwendet werden muss (z. B. elektronische Uhren, Taschenrechner usw.). Bei solchen Geräten ist es aufgrund des geringen Programmspeichers nicht immer ratsam, einen universellen Mikrocode zum Umwandeln von Binärzahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt zu verwenden.

Bemerkung 1

In einigen Arten von Computern in Arithmetik-Logik-Einheiten (ALU) gibt es spezielle Dezimal-Arithmetikeinheiten, die Operationen mit Zahlen ausführen, die im Binär-Dezimal-Code dargestellt sind. Dadurch kann die Leistung des Computers in einigen Fällen erheblich gesteigert werden.

Zum Beispiel im automatisiertes System Die Datenverarbeitung verwendet eine große Anzahl von Zahlen, und es gibt nur wenige Berechnungen. In einem solchen Fall würden die Operationen zum Übertragen von Nummern von einem System zu einem anderen die Zeit zum Durchführen von Infoerheblich überschreiten. Mikroprozessoren hingegen verwenden reine Binärzahlen, verstehen aber auch Befehle zur Umwandlung in binär codierte Dezimalschreibweise. Die ALU des AVR-Mikrocontrollers (sowie anderer Mikroprozessoren) führt elementare Arithmetik und logische Operationenüber im Binärcode dargestellte Zahlen, nämlich:

liest die Ergebnisse der ADC-Umwandlung;

im Format von Ganzzahlen oder Fließkommazahlen, führt die Verarbeitung der Messergebnisse durch.

Das Endergebnis wird jedoch auf dem Indikator in einem Dezimalformat angezeigt, das für die menschliche Wahrnehmung geeignet ist.

Prinzipien zum Aufbau eines binär-dezimalen Zahlensystems

Beim Aufbau eines Binär-Dezimal-Zahlensystems wird jede Dezimalziffer durch $4$ Binärziffern dargestellt, da die maximale Dezimalziffer $9$ als $10012$ codiert ist.

Zum Beispiel: $925_(10) = 1001 0010 0101_(2-10)$.

Bild 1.

In dieser Notation repräsentieren aufeinanderfolgende Quads von Binärziffern die Ziffern $9$, $2$ bzw. $5$ der Dezimalschreibweise.

Um eine Zahl im Binär-Dezimal-Zahlensystem zu schreiben, muss sie zuerst im Dezimalsystem dargestellt werden, und dann muss jede in der Zahl enthaltene Dezimalziffer im Binärsystem dargestellt werden. Gleichzeitig erfordert das Schreiben unterschiedlicher Dezimalziffern im Binärsystem eine unterschiedliche Anzahl von Binärziffern. Um die Verwendung von Trennzeichen zu vermeiden, werden bei der binären Darstellung einer Dezimalziffer immer 4 Binärziffern aufgezeichnet. Eine Gruppe dieser vier Ziffern wird aufgerufen Tetrade.

Obwohl BCD nur die Ziffern $0$ und $1$ verwendet, unterscheidet es sich von der binären Darstellung einer bestimmten Zahl, da das dezimale Äquivalent einer binären Zahl um ein Vielfaches größer ist als das dezimale Äquivalent einer BCD-Zahl.

Zum Beispiel:

$1001 0010 0101_{(2)} = 2341_{(10)}$,

$1001 0010 0101_{(2)} = 925_{(2-10)}$.

Eine solche Schreibweise wird häufig als Zwischenschritt bei der Umwandlung einer Zahl von Dezimalzahl in Binärzahl und umgekehrt verwendet. Da die Zahl $10$ keine exakte Potenz der Zahl $2$ ist, werden nicht alle $16$-Tetraden verwendet (Tetraden, die Zahlen von $A$ bis $F$ darstellen, werden verworfen, da diese Zahlen als verboten gelten), während Algorithmen für Arithmetik Operationen mit mehrwertigen Zahlen sind in diesem Fall komplexer als in den grundlegenden Zahlensystemen. Und doch wird BCD selbst auf dieser Ebene in vielen Taschenrechnern und einigen Computern verwendet.

Um die Ergebnisse arithmetischer Operationen an Zahlen zu korrigieren, die im Binär-Dezimal-Code dargestellt werden, verwendet die Mikroprozessortechnologie Anweisungen, die die Ergebnisse der Operationen in das Binär-Dezimal-Zahlensystem umwandeln. In diesem Fall wird die folgende Regel verwendet: Wenn durch eine Operation (Addition oder Subtraktion) in einer Tetrade eine Zahl größer als $9$ erhalten wird, wird die Zahl $6$ zu dieser Tetrade hinzugefügt.

Zum Beispiel: $75+18=93$.

$10001101 \ (8D)$

Im Junior-Notizbuch tauchte die verbotene Ziffer $D$ auf. Fügen wir $6$ zur unteren Tetrade hinzu und erhalten:

$10010011 \ (93)$

Wie Sie sehen können, war das Ergebnis der Operation trotz der Tatsache, dass die Addition im binären Zahlensystem durchgeführt wurde, binär dezimal.

Bemerkung 2

Bitweises Balancieren wird häufig auf der Grundlage von durchgeführt Binär-Dezimal-Zahlensystem. Am sinnvollsten ist die Verwendung von binären und binär-dezimalen Zahlensystemen, da hier die Anzahl der Ausgleichszyklen unter anderen Zahlensystemen am kleinsten ist. Beachten Sie, dass die Verwendung des Binärcodes es ermöglicht, die Verarbeitungszeit der Kompensationsspannung um ca. $20\%$ im Vergleich zur binär-dezimalen zu reduzieren.

Vorteile der Verwendung des binären Dezimalzahlensystems

Das Konvertieren von Zahlen von Dezimalzahlen in binäre Dezimalzahlen ist nicht rechenintensiv und mit den einfachsten einfach zu implementieren elektronische Schaltkreise, da nur wenige (4) Binärziffern umgewandelt werden. Die Rücktransformation erfolgt im Computer automatisch mit Hilfe eines speziellen Übersetzungsprogramms.

Die Verwendung des binär-dezimalen Zahlensystems zusammen mit einem der wichtigsten Zahlensysteme (Binär) ermöglicht die Entwicklung und Erstellung von Hochleistungsrechnern, da durch die Verwendung eines Dezimalrechenwerks in der ALU die Notwendigkeit einer programmierten Zahlenübersetzung entfällt beim Lösen von Problemen von einem Zahlensystem zum anderen wechseln.

Da zwei BCD-Ziffern $1$-Bytes sind, die die Zahlen $0$ bis $99$ anstelle von $0$ bis $255$ wie bei einer $8$-Binärzahl darstellen können, können Sie mit $1$-Bytes alle zwei Dezimalziffern darstellen, mit denen Sie BCD-Zahlen bilden können beliebig viele Nachkommastellen.

Im Studium der Informatik, unabhängig von Schule oder Universität, wird einem Begriff wie Zahlensystemen ein besonderer Stellenwert eingeräumt. Ihm sind in der Regel mehrere Unterrichtsstunden oder praktische Übungen zugeordnet. Das Hauptziel ist nicht nur das Erlernen der Grundkonzepte des Themas, das Studium der Arten von Zahlensystemen, sondern auch das Kennenlernen der binären, oktalen und hexadezimalen Arithmetik.

Was bedeutet das?

Beginnen wir mit der Definition des Hauptkonzepts. Wie das Lehrbuch „Informatik“ anmerkt, ist das Zahlensystem eine Aufzeichnung von Zahlen, die ein spezielles Alphabet oder einen bestimmten Zahlensatz verwendet.

Je nachdem, ob sich der Wert einer Ziffer von ihrer Position in der Zahl ändert, unterscheidet man zwei: positionelle und nicht-positionelle Zahlensysteme.

In Positionssystemen ändert sich der Wert einer Ziffer mit ihrer Position in der Zahl. Wenn wir also die Zahl 234 nehmen, bedeutet die Zahl 4 darin Einheiten, aber wenn wir die Zahl 243 betrachten, bedeutet dies hier bereits Zehner, nicht Einheiten.

In nicht-positionellen Systemen ist der Wert einer Ziffer unabhängig von ihrer Position in der Zahl statisch. Das auffälligste Beispiel ist das Stick-System, bei dem jede Einheit durch einen Strich angezeigt wird. Egal wo Sie den Zauberstab zuweisen, der Wert der Zahl ändert sich nur um eins.

Nicht-positionelle Systeme

Etwas nicht positionelle Systeme Berechnungen umfassen:

Ein einziges System, das als eines der ersten gilt. Es wurden Stöcke anstelle von Zahlen verwendet. Je mehr es waren, desto größer war der Wert der Zahl. Sie können ein Beispiel für auf diese Weise geschriebene Zahlen in Filmen treffen, wo wir redenüber Menschen, die auf See verschollen sind, Gefangene, die jeden Tag mit Hilfe von Kerben auf einem Stein oder einem Baum markieren.
Roman, bei dem anstelle von Zahlen lateinische Buchstaben verwendet wurden. Mit ihnen können Sie eine beliebige Zahl schreiben. Gleichzeitig wurde ihr Wert anhand der Summe und Differenz der Ziffern bestimmt, aus denen die Zahl bestand. Wenn links von der Ziffer eine kleinere Zahl stand, wurde die linke Ziffer von der rechten subtrahiert, und wenn die rechte Ziffer kleiner oder gleich der linken Ziffer war, wurden ihre Werte summiert hoch. Zum Beispiel wurde die Zahl 11 als XI und 9 - IX geschrieben.
Buchstaben, in denen Zahlen mit dem Alphabet einer bestimmten Sprache bezeichnet wurden. Eines davon ist das slawische System, in dem eine Reihe von Buchstaben nicht nur einen phonetischen, sondern auch einen numerischen Wert hatten.
in dem nur zwei Bezeichnungen für die Aufzeichnung verwendet wurden - Keile und Pfeile.
Auch in Ägypten wurden Sonderzeichen zur Bezeichnung von Zahlen verwendet. Beim Schreiben einer Zahl durfte jedes Zeichen nicht mehr als neunmal verwendet werden.

Positionssysteme

Positionszahlensystemen wird in der Informatik viel Aufmerksamkeit geschenkt. Dazu gehören die folgenden:

binär;
oktal;
Dezimal;
hexadezimal;
Sexagesimal, wird beim Zählen der Zeit verwendet (z. B. in einer Minute - 60 Sekunden, in einer Stunde - 60 Minuten).

Jeder von ihnen hat sein eigenes Alphabet zum Schreiben, für Übersetzungsregeln und Rechenoperationen.

Dezimalsystem

Dieses System ist uns am vertrautesten. Es verwendet Zahlen von 0 bis 9, um Zahlen zu schreiben. Sie werden auch Arabisch genannt. Je nach Position der Ziffer in der Zahl kann sie verschiedene Ziffern bezeichnen - Einer, Zehner, Hunderter, Tausender oder Millionen. Wir verwenden es überall, wir kennen die Grundregeln, nach denen Rechenoperationen mit Zahlen durchgeführt werden.

Binäres System

Eines der wichtigsten Zahlensysteme in der Informatik ist binär. Seine Einfachheit ermöglicht es dem Computer, umständliche Berechnungen um ein Vielfaches schneller durchzuführen als im Dezimalsystem.

Zum Schreiben von Zahlen werden nur zwei Ziffern verwendet - 0 und 1. Gleichzeitig ändert sich der Wert je nach Position von 0 oder 1 in der Zahl.

Zunächst erhielten sie mit Hilfe von Computern alle notwendigen Informationen. Gleichzeitig bedeutete Eins das Vorhandensein eines Signals, das mit Spannung übertragen wurde, und Null bedeutete dessen Abwesenheit.

Oktales System

Ein weiterer berühmter Computersystem Kalkül, in dem Zahlen von 0 bis 7 verwendet werden, und wurde hauptsächlich in den Wissensgebieten verwendet, die mit digitalen Geräten verbunden sind. In letzter Zeit wird es jedoch viel seltener verwendet, da es durch das hexadezimale Zahlensystem ersetzt wurde.

Binäre Dezimalzahl

Die Darstellung großer Zahlen im Binärsystem für eine Person ist ein ziemlich komplizierter Vorgang. Um es zu vereinfachen, wurde es entwickelt und wird normalerweise in elektronischen Uhren und Taschenrechnern verwendet. In diesem System wird nicht die ganze Zahl vom Dezimalsystem in das Binärsystem umgewandelt, sondern jede Ziffer wird in den entsprechenden Satz von Nullen und Einsen im Binärsystem übersetzt. Dasselbe gilt für die Konvertierung von binär nach dezimal. Jede Ziffer, die als vierstelliger Satz von Nullen und Einsen dargestellt wird, wird in eine Ziffer im Dezimalzahlensystem übersetzt. Im Prinzip gibt es nichts Kompliziertes.

Um in diesem Fall mit Zahlen zu arbeiten, ist eine Tabelle mit Zahlensystemen nützlich, die die Entsprechung zwischen Zahlen und ihrem Binärcode anzeigt.

Hexadezimalsystem

In letzter Zeit ist das hexadezimale Zahlensystem in der Programmierung und Informatik immer beliebter geworden. Es verwendet nicht nur Zahlen von 0 bis 9, sondern auch eine Reihe lateinischer Buchstaben - A, B, C, D, E, F.

Gleichzeitig hat jeder der Buchstaben seine eigene Bedeutung, also A=10, B=11, C=12 und so weiter. Jede Nummer wird als ein Satz von vier Zeichen dargestellt: 001F.

Zahlenkonvertierung: von Dezimal zu Binär

Die Übersetzung in Zahlensysteme erfolgt nach bestimmten Regeln. Die gebräuchlichste Umwandlung ist von binär nach dezimal und umgekehrt.

Um eine Zahl von dezimal in binär umzuwandeln, ist es notwendig, sie konsequent durch die Basis des Zahlensystems, also die Zahl zwei, zu dividieren. In diesem Fall muss der Rest jeder Division festgelegt werden. Dies wird fortgesetzt, bis der Rest der Division kleiner oder gleich eins ist. Berechnungen führen Sie am besten in einer Spalte durch. Dann werden die resultierenden Divisionsreste in umgekehrter Reihenfolge in den String geschrieben.

Konvertieren wir zum Beispiel die Zahl 9 in eine Binärzahl:

Wir teilen 9, da die Zahl nicht ohne Rest teilbar ist, dann nehmen wir die Zahl 8, der Rest ist 9 - 1 = 1.

Nachdem wir 8 durch 2 geteilt haben, erhalten wir 4. Wir teilen es erneut, da die Zahl durch zwei geteilt wird - wir erhalten 4 - 4 = 0 im Rest.

Wir führen die gleiche Operation mit 2 durch. Der Rest ist 0.

Als Ergebnis der Division erhalten wir 1.

Unabhängig vom endgültigen Zahlensystem erfolgt die Übertragung von Zahlen von Dezimalzahlen zu anderen nach dem Prinzip der Division der Zahl durch die Basis des Positionssystems.

Zahlenkonvertierung: von binär nach dezimal

Es ist ziemlich einfach, Zahlen von Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln. Dazu reicht es aus, die Regeln zum Potenzieren von Zahlen zu kennen. In diesem Fall hoch zwei.

Der Übersetzungsalgorithmus lautet wie folgt: Jede Ziffer des binären Zahlencodes muss mit zwei multipliziert werden, und die ersten beiden sind die Potenz von m-1, die zweite - m-2 usw., wobei m die Zahl ist von Ziffern im Code. Addieren Sie dann die Ergebnisse der Addition und erhalten Sie eine ganze Zahl.

Für Schulkinder lässt sich dieser Algorithmus einfacher erklären:

Zunächst nehmen wir jede Ziffer multipliziert mit zwei und schreiben sie auf, dann schreiben wir die Zweierpotenz am Ende auf, beginnend bei Null. Addieren Sie dann die resultierende Zahl.

Lassen Sie uns zum Beispiel die zuvor erhaltene Zahl 1001 mit Ihnen analysieren, in das Dezimalsystem umwandeln und gleichzeitig die Richtigkeit unserer Berechnungen überprüfen.

Es wird so aussehen:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Beim Studium dieses Themas ist es zweckmäßig, eine Tabelle mit Zweierpotenzen zu verwenden. Dadurch wird der Zeitaufwand für Berechnungen erheblich reduziert.

Andere Übersetzungsmöglichkeiten

In einigen Fällen kann eine Übersetzung zwischen binär und oktal, binär und hexadezimal durchgeführt werden. In diesem Fall können Sie spezielle Tabellen verwenden oder die Rechneranwendung auf Ihrem Computer ausführen, indem Sie die Option „Programmierer“ auf der Registerkarte „Ansicht“ auswählen.

Rechenoperationen

Unabhängig von der Darstellungsform der Zahl lassen sich damit uns vertraute Berechnungen durchführen. Das können Division und Multiplikation, Subtraktion und Addition in dem von Ihnen gewählten Zahlensystem sein. Natürlich hat jeder von ihnen seine eigenen Regeln.

So entwickelte das Binärsystem für jede der Operationen eigene Tabellen. Dieselben Tabellen werden in anderen Positionssystemen verwendet.

Es ist nicht notwendig, sie auswendig zu lernen – einfach ausdrucken und zur Hand haben. Sie können den Rechner auch auf Ihrem PC verwenden.

Eines der wichtigsten Themen in der Informatik ist das Zahlensystem. Die Kenntnis dieses Themas, das Verstehen der Algorithmen zum Übersetzen von Zahlen von einem System in ein anderes ist eine Garantie dafür, dass Sie komplexere Themen wie Algorithmen und Programmierung verstehen und Ihr erstes Programm selbst schreiben können.

Das Binär-Dezimal-Zahlensystem ist in modernen Computern weit verbreitet, da es einfach ist, in das und aus dem Dezimalsystem umzuwandeln. Es kommt dort zum Einsatz, wo nicht die Einfachheit des technischen Aufbaus der Maschine im Vordergrund steht, sondern der Komfort für den Anwender. Bei diesem Zahlensystem werden alle Dezimalziffern getrennt durch vier Binärziffern kodiert und in dieser Form sequentiell hintereinander geschrieben.

Das Binär-Dezimal-System ist im Hinblick auf die Umsetzung des technischen Aufbaus der Maschine nicht wirtschaftlich (die erforderliche Ausrüstung erhöht sich um etwa 20%), aber es ist sehr bequem bei der Vorbereitung von Aufgaben und bei der Programmierung. Beim binär-dezimalen Zahlensystem ist die Basis des Zahlensystems die Zahl 10, jedoch wird jede Dezimalziffer (0, 1, ..., 9) in Binärziffern dargestellt, also verschlüsselt. Vier Binärziffern werden verwendet, um eine Dezimalziffer darzustellen. Hier gibt es natürlich Redundanz, da 4 Binärziffern (oder eine binäre Tetrade) nicht 10, sondern 16 Zahlen darstellen können, aber das sind schon Produktionskosten aus Gründen der Programmierfreundlichkeit. Es gibt eine Reihe von binär codierten Dezimalsystemen zur Darstellung von Zahlen, die sich dadurch unterscheiden, dass bestimmten Kombinationen von Nullen und Einsen innerhalb einer Tetrade bestimmte Werte von Dezimalziffern zugeordnet werden. In dem am häufigsten verwendeten natürlichen binär codierten Dezimalzahlensystem sind die Gewichte der Binärziffern innerhalb der Tetrade natürlich, d. h. 8, 4, 2, 1 (Tabelle 6).

Tabelle 6

Binäre Dezimalzahl

Beispielsweise ist die Dezimalzahl 5673 in BCD 01010110011100011.

Das Umwandeln von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes ist ein wichtiger Teil der Maschinenarithmetik. Beachten Sie die Grundregeln der Übersetzung.

1. Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss sie als Polynom geschrieben werden, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 2 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden:

Beim Übersetzen ist es zweckmäßig, die Tabelle der Zweierpotenzen zu verwenden:

Tabelle 7

Potenzen von 2

n (Grad)

Beispiel. Konvertieren Sie die Zahl in das Dezimalzahlensystem.

2. Um eine Oktalzahl in eine Dezimalzahl zu übersetzen, muss sie als Polynom geschrieben werden, das aus den Produkten der Ziffern der Zahl und der entsprechenden Potenz der Zahl 8 besteht, und nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet werden:

Beim Übersetzen ist es zweckmäßig, die Tabelle der Achterpotenzen zu verwenden:

Tabelle 8

Potenzen von 8

n (Grad)
8n

Beispiel. Nummer 75013 8 in Dezimalzahlensystem übersetzen.

(Methodische Entwicklung)

Aufgabe: Wandeln Sie dezimal ausgedrückte Zahlen in binäre Zahlen um und multiplizieren Sie sie dann.

Hinweis: Die Multiplikationsregeln sind genau die gleichen wie im Dezimalzahlensystem.

Multiplizieren: 5 × 5 = 25

Wandeln Sie die Dezimalzahl 5 in einen Binärcode um

5: 2 = 2 Rest 1 Ergebnis

2: 2 = 1 Rest 0 wird rückwärts geschrieben

1:2 = 0 Rest 1 Ordnung

Also: 5 (10) = 101 (2)

Konvertieren wir die Dezimalzahl 25 in einen Binärcode

25: 2 = 12 Rest 1

12: 2 = 6 Rest 0 Ergebnis

6: 2 = 3 Rest 0 wird rückwärts geschrieben

3: 2 = 1 Rest 1 Ordnung

1: 2 = 0 Rest 1

Also: 11001 (2) = 25 (10)

Wir überprüfen:

Binäre Multiplikation durchführen

101

Die Regeln für die Multiplikation in binär sind genau die gleichen wie in dezimal.

1) 1 × 1, wird 1, schreibe 1 auf.

2) 1 × 0, wird 0, schreibe 0.

3) 1 × 1, wird 1, schreibe 1 auf.

4) Wir schreiben drei Nullen auf, wobei die erste Null unter dem zweiten Zeichen (Null) steht.

5) Multiplikation 1 × 101 ist genau dasselbe wie p.p. 1, 2, 3.

Wir führen die Additionsoperation durch.

6) Abreißen und niederschreiben 1.

7) 0 +0 wird Null sein, notieren Sie 0.

8) 1 + 1 wird 10, wir schreiben Null auf und übertragen Eins auf die höchste Ziffer.

9) 0 + 0 + 1 wird 1, schreibe 1

10) Abreißen und niederschreiben 1.

Aufgabe 1: Führen Sie eine binäre Multiplikation durch

Aufgabe: Wandeln Sie Zahlen, Dezimalausdrücke, in Binärform um und dividieren Sie dann.

Hinweis: Die Divisionsregeln sind genau die gleichen wie im dezimalen Zahlensystem.

Wenn das Ergebnis ohne Rest geteilt wird, schreiben wir - 0 auf, sonst (mit Rest) - 1

Teilen: 10:2 = 5

Konvertieren wir die Dezimalzahl 10 in Binärcode:

10:2 = 5 Rest 0 5:2 = 2 Rest 1 2:2 = 1 Rest 0 1:2 = 0 Rest 1

Ergebnis

umgekehrt schreiben

Also: 1010 (2) = 10 (10)

Wandeln Sie Dezimal 2 in Binär um

2:2 = 1 Rest 0

1:2 = 0 Rest 1

Also: 10 (2) = 2 (10)

Wandeln Sie Dezimal 5 in Binär um

5:2 = 2 Rest 1

2:2 = 1 Rest 0

1:2 = 0 Rest 1

Also: 101 (2) = 5 (10)

Wir überprüfen:

1010 (2) = 0x2 0 + 1x2 1 + 0x2 2 + 1x2 3 = 0 +2+0+8 =10 (10)

10 (2) = 0×2 0 +1×2 1 = 0 +2 = 2 (10)

101 (2) = 1×2 0 +0×2 1 +1×2 2 = 1+ 0+4 = 5 (10)

Wir führen eine binäre Division durch:

1010 (2) : 10 (2) = 101 (2)

−

1010 (2) 10

−

Die Divisionsregeln in binär sind genau die gleichen wie in dezimal.

1) 10 geteilt durch 10. Wir nehmen jeweils 1, schreiben als Ergebnis 1.

2) Zerstöre 1 (eins), nicht genug, nimm 0 (null).

3) Wir nehmen 1. Von 10 (zehn) subtrahieren wir 10, wir erhalten Null, was entspricht
Wirklichkeit.

Aufgabe 1: Führen Sie die Division in binärer Form durch

1) 10010 (2) : 110 (2) =

11000 (2) : 110 (2) =

2) 110110 (2) : 110 (2) =

Aufgabe 2: Stellen Sie das Ergebnis in Dezimalform wieder her.

Aufgabe: Subtrahieren Sie die in Binärform ausgedrückten Zahlen und stellen Sie das Ergebnis in Dezimalform wieder her.

Subtrahieren: 1100 (2) - 110 (2) =

Subtraktionsregeln in binärer Form.

Die Subtraktion im Binärformat ähnelt der Subtraktion im Dezimalformat.

110 0 + 0 = 0

110 0 + 1 = 1

1) 0 plus 0 ergibt 0 (Siehe Regeln zum Addieren von Zahlen).

2) 1 plus 1 ist gleich 10. Wir schreiben Null und übertragen die Einheit auf die höchstwertige Ziffer, wie im Dezimalsystem

3) 1 plus 1 plus 1 ergibt 11 - eine Binärzahl. Wir schreiben 1 und die zweite Einheit
Wechsel in die Oberstufe. Wir erhalten: 1100 (2), was wahr ist.

Aufgabe: Überprüfen Sie das Ergebnis.

1100 (2) = 0x2 0 + 0x2 1 +1x2 2 +1x2 3 = 0 + 0 + 4 + 8 = 12 (10)

110 (2) = 0x2 0 +1x2 1 +1x2 2 = 0 + 2 + 4 = 6 (10)

Somit erhalten wir: 6 + 6 = 12, was wahr ist.

Führen Sie es selbst aus:

Aufgabe 1. Subtrahiere in binärer Form:

1010 10 (10)

110 6 (10)

10000 entspricht: 16 (10)

Die Aktionen werden wie folgt ausgeführt.

1) 0 plus 0 ergibt 0

2) 1 plus 1 ist gleich 10 (das ist 2 (zwei), binär als 10 dargestellt);
In der Vergangenheit wurden zehn Finger verwendet, um Zahlen zu addieren und umgekehrt:

9 + 1 = 10; 8 + 2 = 10; 1 + 9 = 10; 2 + 8 = 10.

Deshalb ist das Dezimalzahlensystem entstanden. Und in binär 2 (zwei) Zeichen: 1 und 0

3) 1 plus 0 plus 1 ergibt 10. Schreibe 0 auf und übertrage 1.

4) 1 plus 1 ist gleich 10, weil es so ist letzte Aktion, wir schreiben 10 auf, wir haben es im Dezimalsystem genauso gemacht.

Aufgabe: Überprüfen Sie das erhaltene Ergebnis:

110

Ein Beispiel für ein gemischtes Zahlensystem ist binäres dezimalsystem . In BCD wird jede Dezimalziffer durch 4 Bit dargestellt, da die maximale Dezimalziffer 9 als 1001 2 codiert ist. Zum Beispiel,

925 10 = 1001 0010 0101 2-10 .

Hier stellen aufeinanderfolgende Quadrupel (Tetraden) von Binärziffern jeweils die Zahlen 9, 2 und 5 der Dezimalschreibweise dar.

Obwohl die binär codierte Dezimalschreibweise nur die Ziffern 0 und 1 verwendet, unterscheidet sich diese Schreibweise von der binären Darstellung der gegebenen Zahl. Beispielsweise entspricht der Binärcode 1001 0010 0101 der Dezimalzahl 2341, nicht 925.

Ist P=Q l (l ist eine positive ganze Zahl), entspricht die Schreibweise einer beliebigen Zahl im gemischten Zahlensystem identisch dem Bild dieser Zahl im Zahlensystem mit der Basis Q. Beispiele für ein solches gemischtes Zahlensystem sind binär-oktal und binär-hexadezimal.

Zum Beispiel,

A2 16 = 1010 0010 2 = 1010 0010 2-16

DARSTELLUNG NEGATIVER ZAHLEN IM FESTPUNKTFORMAT

Um die Durchführung arithmetischer Operationen zu vereinfachen, werden in Computern spezielle Binärcodes verwendet, um negative Zahlen darzustellen: umgekehrt und zusätzlich. Mit Hilfe dieser Codes wird die Bestimmung des Vorzeichens des Ergebnisses einer Operation in der algebraischen Addition vereinfacht. Die Operation der Subtraktion (oder algebraischen Addition) wird auf die arithmetische Addition von Operanden reduziert, die Entwicklung von Überlaufzeichen des Bitgitters wird erleichtert. Als Ergebnis werden Computervorrichtungen, die arithmetische Operationen ausführen, vereinfacht.

Es ist bekannt, dass eine der Möglichkeiten, eine Subtraktionsoperation durchzuführen, darin besteht, das Vorzeichen des Subtrahends in das Gegenteil zu ändern und es zum Minuend hinzuzufügen:

A - B \u003d A + (- B)

Dies ersetzt die arithmetische Subtraktionsoperation durch die algebraische Additionsoperation, die unter Verwendung von binären Addierern durchgeführt werden kann.

Zur maschinellen Darstellung negativer Zahlen werden Codes verwendet direkt, komplementär, umgekehrt. Eine vereinfachte Definition dieser Codes kann wie folgt gegeben werden. Wenn die Zahl A im gewöhnlichen Binärcode - Direkte Binärcode, darstellen als

[A] pr = 0.an an-1 an-2.....a1 a0,

dann wird die Zahl -A im gleichen Code dargestellt als

[-A]pr = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

und in umkehren(inverser) Code, diese Nummer sieht so aus:

[-A]rev = 1.an an-1 an-2.....a1 a0,

ai = 1 wenn ai = 0,

ai = 0 wenn ai = 1,

a mir gefällt's ich-te Ziffer der Binärzahl. Daher werden beim Übergang von einem direkten Code zu einem inversen Code alle Ziffern der Matisse-Ziffern der Nummer invertiert.

Dann die Zahl -A rein zusätzlich Code wird als angezeigt

[-A] addieren \u003d [-A] Umdrehung + 1

Um also einen zusätzlichen Code negativer Zahlen zu erhalten, müssen Sie zuerst den digitalen Teil der ursprünglichen Zahl invertieren, was zu ihrem inversen Code führt, und dann eins zum niedrigstwertigen Bit des digitalen Teils der Zahl hinzufügen.

Der zusätzliche Code einer Nummer wird erhalten, indem er durch eine neue Nummer ersetzt wird. komplementär es zu einer Zahl, die gleich dem Gewicht der Ziffer ist, die der höchstwertigen Ziffer des Bitgitters folgt, das verwendet wird, um die Mantisse einer Zahl im Festkommaformat darzustellen. Daher wird ein solcher Zahlencode als zusätzlich bezeichnet.

Stellen Sie sich vor, wir haben nur zwei Ziffern, um Zahlen in Dezimalzahlen darzustellen. Dann ist die maximal darstellbare Zahl 99 und die Gewichtung der dritten nicht vorhandenen hohen Ordnung 10 2 , d.h. 100. In diesem Fall wird für die Zahl 20 die zusätzliche Zahl 80 sein, was 20 zu 100 ergänzt (100 - 20 = 80). Also per Definition Subtraktion

kann durch Zusatz ersetzt werden:

Dabei geht die höchste Einheit über das zugeordnete Bitraster hinaus, in dem nur noch die Zahl 30 verbleibt, d.h. das Ergebnis der Subtraktion von 20 von 50.

Betrachten wir nun ein ähnliches Beispiel für Zahlen, die durch einen 4-Bit-Binärcode dargestellt werden. Lassen Sie uns eine zusätzliche Zahl für 0010 2 = 210 finden. Es ist notwendig, 0010 von 0000 abzuziehen, wir erhalten 1110, das ist der zusätzliche Code 2. Das in eckigen Klammern gezeigte Bit existiert tatsächlich nicht. Aber da wir ein 4-stelliges Raster haben, ist es im Grunde unmöglich, eine solche Subtraktion durchzuführen, und mehr noch, wir versuchen, die Subtraktion loszuwerden. Daher wird der zusätzliche Zahlencode auf die zuvor beschriebene Weise erhalten, d. h. Zuerst erhalten wir den umgekehrten Code der Nummer und addieren dann 1. Nachdem wir dies alles mit unserer Nummer (2) gemacht haben, ist es leicht zu sehen, dass wir eine ähnliche Antwort erhalten.

Das betonen wir Zweierkomplement und Rückkehrcodes werden nur verwendet, um negative Binärzahlen in Festkommaform darzustellen. Positive Zahlen in diesen Codes ändern ihr Bild nicht und werden wie in einem direkten Code dargestellt.

Also die Ziffern einer negativen Zahl in direkter Code bleiben unverändert, und eins wird in den Vorzeichenteil geschrieben.

Sehen wir uns einige einfache Beispiele an.

Sieben im direkten Code wird wie folgt dargestellt:

pr = 0,0001112

Nummer -7 im direkten Code:

[-7] pr = 1,0001112,

und im umgekehrten Code wird es aussehen

[-7]U = 1,1110002,

diese. Einsen werden durch Nullen und Nullen durch Einsen ersetzt. Die gleiche Zahl im Zweierkomplement wäre:

[-7]hinzufügen = 1,1110012.

Überlegen Sie noch einmal, wie das Subtraktionsverfahren mit Hilfe der Zweierkomplementdarstellung des Subtrahenten auf das Additionsverfahren reduziert wird. Subtrahiere die Zahl 7 von 10: 10 - 7 = 3. Wenn beide Operanden im direkten Code dargestellt werden, wird die Subtraktionsprozedur wie folgt durchgeführt:

-1.000111

Und wenn abgezogen, d.h. -7, im Zweierkomplement darstellen, dann reduziert sich das Subtraktionsverfahren auf das Additionsverfahren:

+ 1.111001

1 0.000011 = 310.

Derzeit verwenden Computer üblicherweise das Zweierkomplement, um negative Zahlen im Festkommaformat darzustellen.

Die Darstellungsform von Zahlen in digitalen Automaten ist eine Reihe von Regeln, mit denen Sie eine gegenseitige Entsprechung zwischen der Notation einer Zahl und ihrem quantitativen Äquivalent herstellen können.

Maschinelles (automatisches) Bild einer Nummer das ist Darstellung einer Zahl im Bitraster einer digitalen Maschine. Symbol Maschinendarstellung einer Zahl, zum Beispiel A wird dargestellt als [EIN].

Aufgrund der begrenzten Länge von Maschinenwörtern ist die Zahlenmenge, die in einer Maschine dargestellt werden kann, endlich. Der Vergleich verschiedener Darstellungsformen von Zahlen in Computern erfolgt in der Regel auf der Grundlage einer Schätzung Reichweite und Genauigkeit der Zahlendarstellung.

In der alltäglichen Praxis ist die gebräuchlichste Darstellungsform von Zahlen eine Ziffernfolge, die durch ein Komma in ganze und gebrochene Teile getrennt ist. Zahlen in dieser Form werden als Zahlen bezeichnet. mit natürlichem Komma oder Zahlen in natürlicher Form. In natürlicher Form wird eine Zahl in ihrer natürlichen natürlichen Form geschrieben, zum Beispiel ist 12560 eine ganze Zahl, 0,003572 ist ein echter Bruch, 4,89760 ist ein unechter Bruch.

Wenn Zahlen in dieser Form dargestellt werden, ist es für jede Zahl erforderlich, die Position ihres Kommas in dem Bitraster anzugeben, das zugeordnet ist, um die Zahl in der Maschine darzustellen, was zusätzliche Hardwarekosten in ziemlich großer Höhe erfordert. Daher haben sich bei Computern zwei weitere Darstellungsformen eingebürgert: Fest- und Gleitkomma (Punkt).

Die Notwendigkeit, die Position des Kommas anzugeben, entfällt, wenn die Stelle des Kommas im Bitraster der Maschine im Voraus ein für alle Mal festgelegt wird. Diese Form der Darstellung von Zahlen nennt man Darstellung mit Festkomma (Punkt).

Da die Zahlen positiv und negativ sind, wird das Format (Ziffernraster) des Maschinenbildes unterteilt Zeichenteil und Zahlenfeld. Das Nummernfeld enthält das Bild der Nummer selbst, die wir herkömmlich nennen werden Mantisse Zahlen. Zur Codierung des Vorzeichens einer Zahl wird das höchstwertige Bit des Bitrasters verwendet, das dem Bild einer Binärzahl zugeordnet ist, und die restlichen Bits werden der Mantisse der Zahl zugeordnet. Die Position des Kommas im Bitraster ist streng festgelegt, normalerweise entweder rechts von der niederwertigsten Ziffer der Mantisse oder links von der höchsten Ziffer. Im ersten Fall wird die Zahl als Ganzes dargestellt, im zweiten - als echter Bruch.. Die überwiegende Mehrheit der Computer stellt derzeit ganze Zahlen im Festkommaformat dar.

Der Vorzeichenteil enthält Informationen über das Vorzeichen der Zahl. Es wird davon ausgegangen, dass das Zeichen positive Zahl "+" dargestellt durch das Symbol 0, und das Vorzeichen einer negativen Zahl "-" dargestellt durch das Symbol 1.

Beispielsweise kann die Zahl 7 in Binärform mit einem 6-Bit-Gitter in Festkommaform wie folgt dargestellt werden:

wobei die Ziffer links vom Punkt das Vorzeichen der Zahl ist und die fünf Ziffern rechts vom Punkt die Mantisse der Zahl im direkten Code sind. Hier wird das impliziert das Komma steht rechts neben der niederwertigsten Ziffer, und der Punkt im Bild der Zahl trennt in diesem Fall einfach das Vorzeichenbit von der Mantisse der Zahl.

In Zukunft wird diese Art der Darstellung einer Zahl in maschineller Form häufig in Beispielen verwendet werden. Sie können eine andere Form der Darstellung einer Zahl in Maschinenform verwenden:

wobei das Vorzeichenbit in eckige Klammern eingeschlossen ist.

Die Anzahl der Ziffern im Bitraster, reserviert für das Bild der Mantisse einer Zahl, bestimmt den Umfang und die Genauigkeit der Darstellung einer Festkommazahl. Die maximale Binärzahl im Absolutwert wird durch Einheiten in allen Ziffern dargestellt, mit Ausnahme des Vorzeichens Eins, d.h. für Ganzzahl

|A|max = (2 (n - 1) - 1),

wo n die Gesamtlänge des Bitgitters ist. Im Fall eines 16-Bit-Rasters

|A| max = (2 (16-1) - 1) = 32767 10 ,

diese. Der Darstellungsbereich von Ganzzahlen reicht in diesem Fall von +3276710 bis -3276710 .

Für den Fall, dass das Komma rechts von der niedrigstwertigen Ziffer der Mantisse fixiert ist, d. h. für ganze Zahlen Zahlen, deren Modul größer als ist

(2 (n-1) - 1) und weniger als eins werden nicht in Festkommaform dargestellt. Zahlen, die betragsmäßig kleiner als eine der niederwertigsten Stellen des Bitrasters sind, werden in diesem Fall als Maschinennull bezeichnet. Negative Null ist verboten.

In einigen Fällen, wenn es möglich ist, nur mit Zahlenmodulen zu arbeiten, wird das gesamte Bitraster, einschließlich des höchstwertigen Bits, zur Darstellung der Zahl zugewiesen, was es ermöglicht, den Bereich der Anzeige von Zahlen zu erweitern.